Câu hỏi 9 trang 145 SGK Giải tích 12

Đề bài

Nêu định nghĩa và các phương pháp tính tích phân.

Lời giải chi tiết

1. Định nghĩa

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên đoạn $[a;b]$. Giả sử $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên đoạn $[a;b]$, hiệu số $F(b) - F(a)$ được gọi là tích phân từ $a$ đến $b$ (hay tích phân xác định trên đoạn $[a;b]$ của hàm số $f(x)$.

Kí hiệu là : $\int_a^b f (x)dx$

Vậy ta có :$\int_a^b f (x)dx = F(b) - F(a) = F(x)|_a^b$

2. Phương pháp tính tích phân

a) Phương pháp đổi biến số

Định lí. Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $[a;b]$. Giả sử hàm số $x = \varphi \left( t \right)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn $[α;β]$ sao cho $\varphi \left( \alpha  \right) = a,\varphi \left( \beta  \right) = b$ và $a \le \varphi \left( t \right) \le b,\forall t \in \left[ {\alpha ;\beta } \right]$. Khi đó:

$\int_a^b f (x)dx = \int_\alpha ^\beta  f (\varphi \left( t \right)) \varphi '(t)dt$

b) Phương pháp tính tích phân từng phần

Định lí. Nếu u =u(x) và v=v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [a;b], thì

$\int_a^b u (x)v'(x)dx = [u(x)v(x)]|_a^b - \int_a^b {u'} (x)v(x)dx$

hay $\int_a^b u dv = uv|_a^b - \int_a^b v du$

Loigiaihay.com