Bài 2 trang 145 SGK Giải tích 12

LG a

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) của hàm số khi $a = 0.$

Phương pháp giải:

Thay $a=0$ vào hàm số sau đó khảo sát và vẽ đồ thị hàm số theo các bước đã được học.

Lời giải chi tiết:

Khi $a = 0$ ta có hàm số: $\displaystyle y =  - {1 \over 3}{x^3} - {x^2} + 3x - 4$

- Tập xác định : $(-∞; +∞)$

- Sự biến thiên: $y’= -x^2 – 2x + 3$

$y’=0 ⇔ x = 1, x = -3$

Trên các khoảng $(-∞;-3)$ và $(1; +∞), y’ < 0$ nên hàm số nghịch biến.

Trên khoảng $(-3; 1), y’ > 0$

- Cực trị:

Hàm số đạt cực đại tại $x = 1$, $\displaystyle {y_{CD}} = {{ - 7} \over 3}$

Hàm số đạt cực tiểu tại $x = -3$, ${y_{CT}} =  - 13$

- Giới hạn vô cực: $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty }  =  - \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty }  =  + \infty$

Bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số:

Đồ thị cắt trục tung tại $y = -4$

Đồ thị cắt trục hoành tại $x ≈ 5, 18$

LG b

b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và đường thẳng $y = 0,\, x = -1,\, x = 1.$

Phương pháp giải:

Hình phẳng được giới hạn bởi đường các đồ thị hàm số $y=f(x);$ $y=g(x)$ và các đường thẳng $x=a; \, \, x=b \, (a<b)$ có diện tích được tính bởi công thức:  $S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx.}$

Lời giải chi tiết:

Hàm số $y =  - {1 \over 3}{x^3} - {x^2} + 3x - 4$ đồng biến trên khoảng $(-3; 1)$ nên:

$y < y(1) = {{ - 7} \over 3} < 0$,  $∀x ∈ (-1; 1)$

Do đó , diện tích cần tính là:

$\begin{array}{l} S = \int\limits_{ - 1}^1 {\left| { - \dfrac{1}{3}{x^3} - {x^2} + 3x - 4} \right|dx} \\ = \int\limits_{ - 1}^1 {\left( {\dfrac{1}{3}{x^3} + {x^2} - 3x + 4} \right)dx} \\ \;\; = \left. {\left( {\dfrac{{{x^4}}}{{12}} + \dfrac{{{x^3}}}{3} - \dfrac{{3{x^2}}}{2} + 4x - 1} \right)} \right|_{ - 1}^1 \\ = \dfrac{{23}}{{12}} + \dfrac{{27}}{4} = \dfrac{{26}}{3}. \end{array}$

Loigiaihay.com