Lý thuyết về giới hạn của dãy số

1. Giới hạn hữu hạn

+) $\underset{n\rightarrow +\infty }{lim }u_{n} = 0$ khi và chỉ khi $|u_n|$ có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

+) $\underset{n\rightarrow +\infty }{lim }u_{n} = a \Leftrightarrow \underset{n\rightarrow +\infty }{lim }(u_{n}-a) = 0$.

2. Giới hạn vô cực

+) $\underset{n\rightarrow +\infty }{lim }u_{n}= +∞$ khi và chỉ khi $u_n$ có thể lớn hơn một số dương tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

+ $\underset{n\rightarrow +\infty }{lim }u_{n} = -∞ \Leftrightarrow \underset{n\rightarrow +\infty }{lim}(-u_{n})= +∞$.

3. Các giới hạn đặc biệt

a) $\lim \frac{1}{n} = 0$;

    $\lim \frac{1}{n^{k}} = 0$;

$\lim n^k= +∞$, với $k$ nguyên dương.

b) $\lim q^n= 0$ nếu $|q| < 1$;

    $\lim q^n= +∞$ nếu $q > 1$.

c) $\lim c = c$ ($c$ là hằng số).

4. Định lí về giới hạn hữu hạn

a) Nếu $\lim u_n=a$ và $\lim v_n= b$, thì:

$lim\left( {{u_{n}}+{v_n}} \right)= a +b$

$lim{\rm{ }}({u_n} - {v_n}){\rm{ }} = {\rm{ }}a - b$

$lim{\rm{ }}({u_n}.{v_n}) = ab$

$lim{{{u_n}} \over {{v_n}}} = {a \over b}$ (nếu $b ≠ 0$).

b) Nếu $u_n≥ 0$ với mọi $n$ và $lim u_n= a$ thì $a > 0$ và $lim \sqrt{u_n}= \sqrt a$.

5. Định lí liên hệ giữa giới hạn hữu hạn và giới hạn vô cực.

a) Nếu $\lim u_n=a$ và $\lim v_n= ± ∞$ thì $\lim \frac{u_{n}}{v_{n}}= 0$.

b)  Nếu $\lim u_n=a > 0$, $\lim v_n= 0$ và $v_n> 0$ với mọi $n$ thì $\lim \frac{u_{n}}{v_{n}} = +∞$

c) Nếu $\lim u_n= +∞$ và $\lim v_n= a > 0$ thì $\lim (u_n.v_n) = +∞$.

6. Cấp số nhân lùi vô hạn

+ Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân vô hạn có công bội $q$ thỏa mãn $|q| <1$.

+) Công thức tính tổng $S$ của cấp số lùi vô hạn $(u_n)$:

$S = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n} + ... = {{{u_1}} \over {1 - q}}$

Loigiaihay.com