Lý thuyết ứng dụng tích phân trong hình học

1. Tính diện tích hình phẳng

a) Nếu hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f(x)$ liên tục trên đoạn $[a;b]$; trục hoành và hai đường thẳng $x = a; x = b$, thì diện tích $S$ được cho bởi công thức:

$S = \int_a^b {\left| {f(x)} \right|} dx$             (1)

Chú ý: Để tính tích phân trên, ta xét dấu của $f(x)$ trên đoạn $[a,b]$. Nếu $f(x)$ không đổi dấu trên khoảng $(c;d) ⊂ [a;b]$ thì :

$\int_c^d {\left| {f(x)} \right|} dx = \left| {\int_c^d f (x)dx} \right|$

Chẳng hạn ta có:

$\int_a^b {\left| {f(x)} \right|} dx = \left| {\int_a^{{c_1}} f (x)dx} \right| + \left| {\int_{{c_1}}^{{c_2}} f (x)dx} \right|$$+ \left| {\int_{{c_2}}^{{c_3}} f (x)dx} \right| + \left| {\int_{{c_3}}^b f (x)dx} \right|$ 

b) Nếu hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số $y = {\rm{ }}{f_1}\left( x \right)$ và  $y = {\rm{ }}{f_2}\left( x \right)$ liên tục trên đoạn [a;b] và hai đường thẳng $x = a, x = b$ thì diện tích $S$ được cho bởi công thức :

$\int_a^b {\left| {{f_1}(x) - {f_2}(x)} \right|} dx$         (2)

Chú ý: Để tính tích phân trên, ta xét dấu $f\left( x \right) = \;{f_1}\left( x \right){\rm{ }}\; - {\rm{ }}{f_2}\left( x \right)$ trên đoạn $[a;b]$ hoặc tìm nghiệm của nó trên khoảng $(a;b)$, sau đó áp dụng tính chất nêu ở chú ý trên. Cụ thể ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Giải phương trình: ${f_1}\left( x \right){\rm{ }}\; - {\rm{ }}{f_2}\left( x \right){\rm{ }} = {\rm{ }}0$, tìm các nghiệm ${x_i}\; \in {\rm{ }}\left( {a;b} \right)$

Bước 2 : Sắp xếp các nghiệm theo thứ tự tăng dần, chẳng hạn có n nghiệm:

$${x_{1\;}} < {\rm{ }}{x_2}\; < {\rm{ }} \ldots {\rm{ }} < {\rm{ }}{x_{n.}}$$

Bước 3: Tính diện tích theo công thức (*):

$S = \int_a {^b} \left| {f(x)} \right|dx = \left| {\int_a^{{x_1}} f (x)dx} \right| + \left| {\int_{{x_1}}^{{x_2}} f (x)dx} \right| + ... + \left| {\int_{{x_n}}^b f (x)dx} \right|$

Nếu hình phẳng nói trên không cho giới hạn bởi hai đường thẳng $x = a, x = b$ thì ta tìm các nghiệm trên tập xác định và trong công thức (*), a được thay thế bởi ${x_1}$, b được thay thế bởi ${x_n}$.

Công thức (1) là trường hợp đặc biệt của công thức (2) khi $y{\rm{ }} = {\rm{ }}{f_1}\left( x \right) = {\rm{ }}0$ hoặc $y{\rm{ }} = {\rm{ }}{f_2}\left( x \right){\rm{ =  }}0$

Tương tự, hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số $\;x{\rm{ }} = {\rm{ }}{g_1}\left( y \right),\;x{\rm{ }} = {\rm{ }}{g_2}\left( y \right)$ liên tục trên đoạn $[c;d]$ và hai đường thẳng $y = c, y = d$ có diện tích được cho bởi công thức: $$S = \int_c^d {\left| {{g_1}(y) - {g_2}(y)} \right|} dy$$

2. Thể tích vật thể

Một vật thể được giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục hoành tại điểm có hoành độ $x = a, x = b (a<b)$. $S(x)$ là diện tích của thiết diện. Thể tích của vật thể được cho bởi công thức: $V = \int_a^b S (x)dx$ (với $S(x)$ là hàm số không âm, liên tục trên đoạn $[a;b]$).

3. Thể tích khối tròn xoay

a) Hình phẳng quay quanh trục $Ox$: Cho hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f(x)$ không âm và liên tục trên đoạn $[a;b]$, trục $Ox$ và hai đường thẳng $x = a, x = b$ quay quanh trục $Ox$, ta được khối tròn xoay (h.4). Thể tích  ${V_x}$ của khối tròn xoay này được cho bởi công thức: $${V_x} = \pi {\int_a^b {\left[ {f(x)} \right]} ^2}dx.$$

b) Hình phẳng quay quanh trục $Oy$ (kiến thức bổ sung): Cho hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số $x = g(y)$ không âm và liên tục trên đoạn $[c;d]$, trục $Oy$ và hai đường thẳng $y = c, y = d$ quay quanh trục $Oy$, ta được khối tròn xoay. Thể tích V_y của khối tròn xoay này được cho bởi công thức: $${V_y} = \pi {\int_c^d {\left[ {g(y)} \right]} ^2}dy.$$

Chú ý. Thể tích của vật thể tạo bởi hình phẳng được giới hạn bởi hai đường thẳng $x = a$, $x = b$ và đồ thị hàm số $y{\rm{ }} = {\rm{ }}{f_1}\left( x \right),{\rm{ }}y{\rm{ }} = {\rm{ }}{f_2}\left( x \right)$ liên tục và $0\; \le \;\;{f_1}\left( x \right)\; \le {\rm{ }}{f_2}\left( x \right)$ trên đoạn $[a;b]$ quay quanh trục $Ox$ được cho bởi công thức: $${V_x} = \pi \int_a^b {\left[ {{{({f_2}(x))}^2} - {{({f_1}(x))}^2}} \right]} dx$$

Tương tự, đổi vai trò $x$ và $y$ cho nhau, ta có công thức tính  ${V_y}$ (khi hình phẳng quay quanh trục $Oy$).

Loigiaihay.com