Giải bài 2 trang 121 SGK Giải tích 12

Đề bài

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong $y = {x^2} + 1$, tiếp tuyến với đường này tại điểm $M(2;5)$ và trục $Oy$.

Lời giải chi tiết

Ta có: $y'=2x.$

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=x^2+1$ tại $M(2;\, \, 5)$ là: $y = y'\left( 2 \right)\left( {x - 2} \right) + 5 = 4\left( {x - 2} \right) + 5 = 4x - 3.$

Phương trình tiếp tuyến là $y = 4x - 3$.

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số với tiếp tuyến là: ${x^2} + 1 =4x - 3 \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 4= 0 \\ ⇔ (x-2)^2=0 ⇔ x = 2.$

Do đó diện tích phải tìm là:

$S=\int_{0}^{2}|x^{2}+1 -4x+3|dx$ $=\int_{0}^{2}(x^{2}-4x+4)dx$

$=\left. {\left( {\dfrac{{{x^3}}}{3} - \dfrac{{4{x^2}}}{2} + 4x} \right)} \right|_0^2$

$=\dfrac{8}{3} \, \, (đvdt)$.

Loigiaihay.com