Lý thuyết tích vô hướng của hai vectơ

1. Định nghĩa

Cho hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$  khác vectơ $\vec{0}$. Tích vô hướng của $\vec{a}$ và $\vec{b}$ là một số, được ký hiệu là $\vec{a}$.$\vec{b}$ và xác định bởi công thức sau :

$\vec{a} .\vec{b} = |\vec{a}|.|\vec{b}|\cos(\vec{a}, \vec{b})$

2. Các tính chất của tích vô hướng

Người ta chứng minh được các tính chất sau đây của tích vô hướng :

Với ba vectơ $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ bất kì và mọi số thực $k$ ta có :

$\vec{a}$ .$\vec{b}$ =  $\vec{b}$.$\vec{a}$ (tính chất giao hoán)

$\vec{a}$.( $\vec{b}$ + $\vec{c}$) =  $\vec{a}$. $\vec{b}$ + $\vec{a}$. $\vec{c}$ ( tính chất phân phối)

$(k.\vec{a}$).$\vec{b}$ =  $k(\vec{a}$, $\vec{b}$) = $\vec{a}$$.(k\vec{b}$)

3. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Trên mặt phẳng tọa độ $(0; \vec{i}; \vec{j})$, cho hai vec tơ $\overrightarrow a =({a_1};{a_2})$, $\overrightarrow b  = ({b_1};{b_2})$. Khi đó tích vô hướng $\vec{a}$ và $\vec{b}$ là:

$\overrightarrow a .\overrightarrow b  = {a_1}{b_1} + {a_2}{b_2}$

 Nhận xét: Hai vectơ $\overrightarrow a =({a_1};{a_2})$, $\overrightarrow b  = ({b_1};{b_2})$ khác vectơ $\vec{0}$ vuông góc với nhau khi và chỉ khi:

$${a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} = 0$$

4. Ứng dụng

a) Độ dài của vectơ: Độ dài của vec tơ  $\overrightarrow a =({a_1};{a_2})$ được tính theo công thức:

$|\vec{a}| = \sqrt{a_{1}^{2}+ {a_{2}}^{2}}$

b) Góc giữa hai vec tơ: Từ định nghĩa tích vô hướng của hai vec tơ ta suy ra nếu $\overrightarrow a =({a_1};{a_2})$, $\overrightarrow b  = ({b_1};{b_2})$ khác vectơ $\vec{0}$ thì ta có:

$\cos(\vec{a}, \vec{b}) = \dfrac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{a}|.|\vec{b}|} = \dfrac{{a_{1}.b_{1}+ a_{2}.b_{2}}}{\sqrt{{a_{1}}^{2}+{a_{2}}^{2}}.\sqrt{{b_{1}}^{2}+{b_{2}}^{2}}}$

c) Khoảng cách giữa hai điểm: Khoảng cách giữa hai điểm $A({x_A};{y_A}),B({x_B};{y_B})$ được tính theo công thức :

$AB=\sqrt{({x_{B}-x_{A}})^{2}+({y_{B}-y_{A})}^{2}}$\

Loigiaihay.com