Lý thuyết sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

Kí hiệu K là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng.

1. Định nghĩa

Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên K ⇔ ∀x_1, x₂ ∈ K, x₁ < x₂ thì f(x₁) < f(x₂).

Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên K ⇔ ∀x_1, x₂ ∈ K, x₁ < x₂ thì f(x₁) > f(x₂).

2. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu

Cho hàm số f có đạo hàm trên K.

 - Nếu f đồng biến trên K thì f'(x) ≥ 0 với mọi x ∈ K.

 - Nếu f nghịch biến trên K thì f'(x) ≤ 0 với mọi x ∈ K.

3. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu

Cho hàm số f có đạo hàm trên K.

- Nếu f'(x) > 0 với mọi x ∈ K thì f đồng biến trên K.

- Nếu f'(x) < 0 với mọi x ∈ K thì f nghịch biến trên K.

- Nếu f'(x) = 0 với mọi x ∈ K thì f là hàm hằng trên K.

Định lý mở rộng

 - Nếu f'(x) ≥ 0 với mọi x ∈ K và f'(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc K thì f đồng biến trên K.

 - Nếu f'(x) ≤ 0 với mọi x ∈ K và f'(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc K thì f nghịch biến trên K.

4. Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số

 i) Tìm tập xác định

 ii) Tính đạo hàm f'(x). Tìm các điểm x_i (i= 1 , 2 ,..., n) mà tại đó đạo hàm bằng 0  hoặc không xác định.

 iii) Sắp xếp các điểm x_i theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.

 iv) Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Loigiaihay.com