Lý thuyết hàm số mũ, hàm số lôgarit

1. Định nghĩa

Hàm số mũ là hàm số có dạng $y = {a^x}$, hàm số lôgarit là hàm số có dạng  $y = {\log _a}x$ ( với cơ số a dương khác 1).

2. Tính chất của hàm số mũ $y = {a^x}$ $( a > 0, a\ne 1)$.

- Tập xác định: $\mathbb{R}$.

- Đạo hàm: $∀x ∈\mathbb{R},y'= a^x \ln a$.

- Chiều biến thiên          

+) Nếu $a> 1$ thì hàm số luôn đồng biến

+) Nếu $0< a < 1$ thì hàm số luôn nghịch biến

- Tiệm cận: trục $Ox$ là tiệm cận ngang.

- Đồ thị nằm hoàn toàn về phía trên trục hoành  $(y = {a^x} >0 \, \forall x)$, và luôn cắt trục tung tại điểm $( 0;1)$ và đi qua điểm $(1;a)$.

3. Tính chất của hàm số lôgarit $y = {\log _a}x$ $(a> 0, a\ne1)$.

- Tập xác định: $(0; +∞)$.

- Đạo hàm $∀x ∈ (0; +∞),y'= \dfrac{1}{x\ln a}$.

- Chiều biến thiên:  

+) Nếu $a> 1$ thì hàm số luôn đồng biến

+) Nếu $0< a < 1$ thì hàm số luôn nghịch biến

- Tiệm cận: Trục $Oy$ là tiệm cận đứng.

- Đồ thị nằm hoàn toàn phía bên phải trục tung, luôn cắt trục hoành tại điểm $(1;0)$ và đi qua điểm $(a;1)$.

4. Chú ý 

- Nếu $a > 1$ thì $\ln a > 0$, suy ra $(a^x)'>0 \, \, \forall x$ và ${({\log_a}^x)}\; > 0,\;\;\forall x{\rm{ }} > 0;$ 

do đó hàm số mũ và hàm số lôgarit với cơ số lớn hơn 1 đều là những hàm số luôn luôn đồng biến.

Tương tự, nếu $0 < a< 1$ thì $\ln a < 0$, $({a^x})' < 0$ và ${({\log_a}^x)}\; < 0,\;\;\forall x{\rm{ }} > 0;$ ; hàm số mũ và hàm số lôgarit với cơ số nhỏ hơn 1 đều là những hàm số luôn luôn nghịch biến.

- Công thức đạo hàm của hàm số lôgarit có thể mở rộng thành

$(\ln  |x|)'= \dfrac{1}{x}, ∀x \ne 0$ và $(\log _a|x|)' = \frac{1}{{x\ln a}},{\rm{ }}\forall x \ne 0.$

5. Bài tập về hàm số mũ, hàm số lôgarit

Bài 1. Chọn mệnh đề đúng:

A. Hàm số $y = {a^{ - x}}\left( {0 < a \ne 1} \right)$ đồng biến nếu $a > 1$.

B. Hàm số $y = {a^{ - x}}\left( {0 < a \ne 1} \right)$ nghịch biến nếu $0 < a < 1$.

C. Hàm số $y = {a^{ - x}}\left( {0 < a \ne 1} \right)$ đồng biến nếu $0 < a < 1$.

D. Hàm số $y = {a^{ - x}}\left( {0 < a \ne 1} \right)$ luôn nghịch biến trên $R$.

Lời giải: Ta có:

Hàm số $y=a^{-x}$ nghịch biến khi $a>1$ nên các đáp án B, D đều sai.

$y = {a^{ - x}} = \dfrac{1}{{{a^x}}} = {\left( {\dfrac{1}{a}} \right)^x}\left( {0 < a \ne 1} \right)$ nên hàm số đồng biến nếu $\dfrac{1}{a} > 1 \Leftrightarrow 0 < a < 1$.

Chọn đáp án C.

Bài 2. Chọn mệnh đề đúng:

A. Đồ thị hàm số $y = {2^x}$ trùng với đồ thị hàm số $y = {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^{ - x}}$ 

B. Đồ thị hàm số $y = {2^x}$ trùng với đồ thị hàm số $y = {2^{ - x}}$.

C. Đồ thị hàm số $y = {2^x}$ đối xứng với đồ thị hàm số $y = {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^{ - x}}$ qua trục hoành

D. Đồ thị hàm số $y = {2^x}$ đối xứng với đồ thị hàm số $y = {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^{ - x}}$ qua trục tung.

Lời giải: Ta có: $y = {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^{ - x}} = \dfrac{1}{{{{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)}^x}}} = \dfrac{1}{{\dfrac{1}{{{2^x}}}}} = {2^x}$ nên hai hàm số $y = {2^x}$ và $y = {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^{ - x}}$ là một. Do đó chúng có chung đồ thị.

Chọn đáp án A.

Bài 3. Đồ thị hàm số dưới đây là của hàm số nào?

A. $y = {2^{ - x}}$        

B. $y = {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^{ - x}}$

C. $y =  - {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^x}$

D. $y =  - {2^x}$

Lời giải: Quan sát đồ thị ta thấy nó nằm hoàn toàn phía dưới trục hoành nên loại A và B.

Lại có, đồ thị hàm số đi qua điểm $\left( { - 1; - 2} \right)$ nên thay tọa độ điểm này vào các hàm số C và D ta được đáp án C.

Chọn đáp án C.

Bài 4. Hàm số $y = {2^{\ln x + {x^2}}}$ có đạo hàm là

A. $\left( {\dfrac{1}{x} + 2x} \right){2^{\ln x + {x^2}}}$

B. $\left( {\dfrac{1}{x} + 2x} \right){2^{\ln x + {x^2}}}.\ln 2$

C. $\dfrac{{{2^{\ln x + {x^2}}}}}{{\ln 2}}$

D. $\left( {\dfrac{1}{x} + 2x} \right)\dfrac{{{2^{\ln x + {x^2}}}}}{{\ln 2}}$

Lời giải: Có $y = {2^{\ln x + {x^2}}} \Rightarrow y' = \left( {\dfrac{1}{x} + 2x} \right){2^{\ln x + {x^2}}}.\ln 2$

Chọn đáp án B.

Bài 5. Gọi $(C)$ là đồ thị hàm số $y = \log x$. Tìm khẳng định đúng? 

A. Đồ thị $(C)$ có tiệm cận đứng

B. Đồ thị $(C)$ có tiệm cận ngang.

C. Đồ thị $(C)$ cắt trục tung.

D. Đồ thị $(C)$ không cắt trục hoành.

Lời giải:

- Đồ thị hàm số $y = \log x$ nhận trục tung là tiệm cận đứng.

- Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang và cắt trục hoành tại điểm $(1;0)$ nên các đáp án B,C,D đều sai

Chọn đáp án A.

Bài 6. Cho $a, b$ là các số thực, thỏa mãn $0 < a < 1 < b$, khẳng định nào sau đây là đúng?

A. ${\log _b}a + {\log _a}b < 0$            

B. ${\log _b}a > 1$        

C. ${\log _a}b > 0$

D. ${\log _a}b + {\log _b}a \ge 2$

Lời giải: Ta có: $0 < a < 1$ nên hàm số $y = {\log _a}x$ nghịch biến, do đó $b > 1$ nên ${\log _a}b < {\log _a}1 = 0$.

Vì $b > 1$ nên hàm số $y = {\log _b}x$ đồng biến, do đó $a < 1$ nên ${\log _b}a < {\log _b}1 = 0$.

Vậy ${\log _a}b < 0;{\log _b}a < 0 \Rightarrow {\log _a}b + {\log _b}a < 0$.

Chọn đáp án A.

Bài 7. Tìm tập xác định D của hàm số $y = {\log _{\sqrt 2 }}\left( {\dfrac{{ - 3}}{{2 - 2x}}} \right)$.

A. $D = ( - \infty ;1)$     

B. $D = {\rm{[}}1; + \infty )$              

C. $D = ( - \infty ;1]$                         

D. $D = (1; + \infty )$

Lời giải: Điều kiện : $\dfrac{{ - 3}}{{2 - 2x}} > 0 \Leftrightarrow 2 - 2x < 0 \Leftrightarrow x > 1.$

Chọn đáp án D.

Bài 8. Đạo hàm hàm số $y = {\log _{2018}}\left( {2018x + 1} \right)$ là:

A. $\dfrac{1}{{x\ln 2018}}$       

B. $\dfrac{{2018}}{{2018\left( {x + 1} \right)\ln 2018}}$

C. $\dfrac{1}{{\left( {2018x + 1} \right)\ln 2018}}$

D. $\dfrac{{2018}}{{\left( {2018x + 1} \right)\ln 2018}}$

Lời giải: Ta có:

$\left[ {{{\log }_{2018}}\left( {2018x + 1} \right)} \right]' = \dfrac{{\left( {2018x + 1} \right)'}}{{\left( {2018x + 1} \right)\ln 2018}} = \dfrac{{2018}}{{\left( {2018x + 1} \right)\ln 2018}}$

Chọn đáp án D.