Lý thuyết Giới hạn của dãy số - SGK Toán 11 Kết nối tri thức

1, Giới hạn hữu hạn của dãy số

Quảng cáo

1, Giới hạn hữu hạn của dãy số

Ta nói dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có giới hạn 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu \(\left| {{u_n}} \right|\) có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý , kể tử một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {u_n} = 0\) hay \({u_n} \to 0\) khi  \(n \to  + \infty \).

Ta nói dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có giới hạn là số thực a khi n dần tới dương vô cực, nếu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \left( {{u_n} - a} \right) = 0\), kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {u_n} = a\) hay \({u_n} \to a\) khi  \(n \to  + \infty \).

* Chú ý: Nếu \({u_n} = c\) (c là hằng số) thì \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {u_n} = c\)

2. Định lí về giới hạn hữu hạn của dãy số

a, Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {u_n} = a,\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {v_n} = b\) thì

\(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } ({u_n} \pm {v_n}) = a \pm b\)

\(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } ({u_n}.{v_n}) = a.b\)

\(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } (\frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}) = \frac{a}{b}\left( {b \ne 0} \right)\)

b, Nếu \({u_n} \ge 0\) thì với mọi n và \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {u_n} = a\) thì \(a \ge 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \sqrt {{u_n}}  = \sqrt a \).

3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

\(S = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}}\left( {\left| q \right| < 1} \right)\)

4. Giới hạn vô cực của dãy số

Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là có giới hạn \( + \infty \)khi \(n \to  + \infty \)nếu \({u_n}\) có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {u_n} =  + \infty \) hay \({u_n} \to  + \infty \) khi \(n \to  + \infty \).

Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là có giới hạn \( - \infty \) khi \(n \to  + \infty \) nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( { - {u_n}} \right) =  + \infty \), kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {u_n} =  - \infty \) hay \({u_n} \to  - \infty \) khi \(n \to  + \infty \).

*Quy tắc:

Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {u_n} = a\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {v_n} =  + \infty \)(hoặc\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {v_n} =  - \infty \)) thì \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } (\frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}) = 0\).

Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {u_n} = a > 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {v_n} = 0,\forall n\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } (\frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}) =  + \infty \).

Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {v_n} = a > 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {u_n} =  + \infty \) thì \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } ({u_n}.{v_n}) =  + \infty \).

 

 

 

 

  • Giải mục 1 trang 105, 106 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

    Cho dãy số (left( {{u_n}} right)) với ({u_n} = frac{{{{left( { - 1} right)}^n}}}{n}) a) Biểu diễn năm số hạng đầu của dãy số này trên trục số b) Bắt đầu từ số hạng nào của dãy, khoảng cách từ ({u_n}) đến 0 nhỏ hơn 0,01?

  • Giải mục 2 trang 106,107 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

    Cho hai dãy số (left( {{u_n}} right)) và (left( {{v_n}} right)) với ({u_n} = 2 + frac{1}{n},;;;{v_n} = 3 - frac{2}{n}) Tính và so sánh: (mathop {lim}limits_{n to + infty } left( {{u_n} + {v_n}} right)) và (mathop {lim}limits_{n to + infty } {u_n} + mathop {lim}limits_{n to + infty } {v_n})

  • Giải mục 3 trang 107, 108 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

    Cho hình vuông cạnh 1 (đơn vị độ dài). Chia hình vuông đó thành bốn hình vuông nhỏ bằng nhau, sau đó ô màu hình vuông nhỏ góc dưới bên trái (H.5.2). Lặp lại các thao tác này với hình vuông nhỏ góc trên bên phải. Giả sử quá trình trên tiếp diễn vô hạn lần. Gọi ({u_1},;{u_2}, ldots ,;{u_n}, ldots ) lần lượt là độ dài cạnh của các hình vuông được tô màu. a) Tính tổng ({S_n} = {u_1} + {u_2} + ldots + {u_n}) b) Tìm (S = mathop {lim}limits_{n to + infty } {S_n})

  • Giải mục 4 trang 108, 109 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

    Một loại vi khuẩn được nuôi cấy với số lượng ban đầu là 50. Sau mỗi chu kỳ 4 giờ, số lượng của chúng sẽ tăng gấp đôi. a) Dự đoán công thức tính số vi khuẩn ({u_n}) sau chu kì thứ n b) Sau bao lâu, số lượng vi khuẩn sẽ vượt con số 10 000?

  • Bài 5.1 trang 109 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

    Tìm các giới hạn sau: a) (mathop {lim}limits_{n to + infty } frac{{{n^2} + n + 1}}{{2{n^2} + 1}}); b) (mathop {lim}limits_{n to + infty } left( {sqrt {{n^2} + 2n} - n} right))

Quảng cáo

Tham Gia Group Dành Cho 2K8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

close