Giải mục 1 trang 105, 106 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thứcCho dãy số (left( {{u_n}} right)) với ({u_n} = frac{{{{left( { - 1} right)}^n}}}{n}) a) Biểu diễn năm số hạng đầu của dãy số này trên trục số b) Bắt đầu từ số hạng nào của dãy, khoảng cách từ ({u_n}) đến 0 nhỏ hơn 0,01? Quảng cáo
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn
HĐ 1 Video hướng dẫn giải Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{n}\) a) Biểu diễn năm số hạng đầu của dãy số này trên trục số. b) Bắt đầu từ số hạng nào của dãy, khoảng cách từ \({u_n}\) đến 0 nhỏ hơn 0,01? Phương pháp giải: Dựa vào công thức số hạng tổng quát tìm được 5 số hạng đầu tiên và biểu diễn trên trục số. Lời giải chi tiết: a) \({u_1} = - 1;\;\;{u_2} = \frac{1}{2};\;\;\;{u_3} = - \frac{1}{3};\;\;\;{u_4} = \frac{1}{4};\;\;\;{u_5} = - \frac{1}{5}\). b) Ta có: \({u_{100}} = 0,01\) suy ra bắt đầu từ số hạng thứ 101 khoảng cách từ số hạng đến 0 nhỏ hơn 0,01. LT 1 Video hướng dẫn giải Chứng minh rằng: \(\mathop {lim}\limits_{n \to + \infty } \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{n - 1}}}}{{{3^n}}}\; = 0\). Phương pháp giải: Ta nói dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu \(\left| {{u_n}} \right|\) có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Lời giải chi tiết: \(\left| {{u_n}} \right| = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{n - 1}}}}{{{3^n}}}\) có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý khi n đủ lớn. Ta có: \(\left| {{u_n}} \right| < 1.69 \times {10^{ - 5}}\) ta cần n > 10. Vậy các số hạng của dãy số kể từ số hạng thứ 11 đều có giá trị nhỏ hơn \(1.69 \times {10^{ - 5}}\). HĐ 2 Video hướng dẫn giải Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{n + {{\left( { - 1} \right)}^n}}}{n}\). Xét dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) xác định bởi \({v_n} = {u_n} - 1\). Tính \(\mathop {lim}\limits_{n \to + \infty }{v_n}\;\). Phương pháp giải: Dãy sô \(\left( {{u_n}} \right)\) có giới hạn là số thực a khi n dần tới dương vô cực nếu \(\left( {{u_n} - a} \right)\; = 0\). Lời giải chi tiết: \({u_n} = {u_n} - 1 = \frac{{n + {{\left( { - 1} \right)}^n}}}{n} - 1 = \frac{{n + {{\left( { - 1} \right)}^n} - n}}{n} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{n} \to 0\) khi \(n \to + \infty \). Do vậy \({v_n}\; = 0\). LT 2 Video hướng dẫn giải Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{{{3.2}^n} - 1}}{{{2^n}}}\). Chứng minh rằng \(\mathop {lim}\limits_{n \to + \infty } {u_n} = 3\). Phương pháp giải: \({u_n}\; = a\) khi và chỉ khi \(\left( {{u_n} - a} \right)\; = 0\). Lời giải chi tiết: \({u_n} = \frac{{3 \times {2^n} - 1}}{{{2^n}}} - 3 = \frac{{3 \times {2^n} - 1 - 3 \times {2^n}}}{{{2^n}}} = - \frac{1}{{{2^n}}} \to 0\) khi \(n \to + \infty \). Do vậy \({u_n}\; = 3\). VD 1 Video hướng dẫn giải Một quả bóng cao su được thả từ độ cao 5 m xuống một mặt sàn. Sau mỗi lần chạm sàn, quả bóng nảy lên độ cao bằng \(\frac{2}{3}\) độ cao trước đó. Giả sử rằng quả bóng luôn chuyển động vuông góc với mặt sàn và quá trình này tiếp diễn vô hạn lần. Giả sử \({u_n}\) là độ cao (tính bằng mét) của quả bóng sau lần nảy lên thứ n. Chứng minh rằng dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có giới hạn là 0. Phương pháp giải: \({u_n}\; = a\) khi và chỉ khi \(\left( {{u_n} - a} \right)\; = 0\). Tìm được độ cao của quả bóng sau mỗi lần chạm sàn là cấp số nhân. Lời giải chi tiết: Độ cao quả bóng sau 1 lần chạm sàn: \({u_1} = 5.\frac{2}{3}\) (m). Độ cao quả bóng sau 2 lần chạm sàn: \({u_2} = 5.{\left( {\frac{2}{3}} \right)^2}\) (m). … Độ cao quả bóng sau n lần chạm sàn: \({u_n} = 5.{\left( {\frac{2}{3}} \right)^n}\) (m). Vì \(|q| = \frac{2}{3} < 0\) nên \({u_n} = 5.{\left( {\frac{2}{3}} \right)^n}\) là một cấp số nhân lùi vô hạn. Khi đó giới hạn của \({u_n} = 5.{\left( {\frac{2}{3}} \right)^n}\) bằng 0.
Quảng cáo
|