Giải mục 1 trang 105, 106 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Cho dãy số (left( {{u_n}} right)) với ({u_n} = frac{{{{left( { - 1} right)}^n}}}{n}) a) Biểu diễn năm số hạng đầu của dãy số này trên trục số b) Bắt đầu từ số hạng nào của dãy, khoảng cách từ ({u_n}) đến 0 nhỏ hơn 0,01?

Quảng cáo
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

HĐ 1

Video hướng dẫn giải

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{n}\)

a) Biểu diễn năm số hạng đầu của dãy số này trên trục số.

b) Bắt đầu từ số hạng nào của dãy, khoảng cách từ \({u_n}\) đến 0 nhỏ hơn 0,01?

Phương pháp giải:

Dựa vào công thức số hạng tổng quát tìm được 5 số hạng đầu tiên và biểu diễn trên trục số.

Lời giải chi tiết:

a) \({u_1} =  - 1;\;\;{u_2} = \frac{1}{2};\;\;\;{u_3} =  - \frac{1}{3};\;\;\;{u_4} = \frac{1}{4};\;\;\;{u_5} =  - \frac{1}{5}\).

b) Ta có: \({u_{100}} = 0,01\) suy ra bắt đầu từ số hạng thứ 101 khoảng cách từ số hạng đến 0 nhỏ hơn 0,01.

LT 1

Video hướng dẫn giải

Chứng minh rằng: \(\mathop {lim}\limits_{n \to  + \infty } \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{n - 1}}}}{{{3^n}}}\; = 0\).

Phương pháp giải:

Ta nói dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu \(\left| {{u_n}} \right|\) có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Lời giải chi tiết:

\(\left| {{u_n}} \right| = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{n - 1}}}}{{{3^n}}}\) có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý khi n đủ lớn.

Ta có: \(\left| {{u_n}} \right| < 1.69 \times {10^{ - 5}}\) ta cần n > 10.

Vậy các số hạng của dãy số kể từ số hạng thứ 11 đều có giá trị nhỏ hơn \(1.69 \times {10^{ - 5}}\).

HĐ 2

Video hướng dẫn giải

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{n + {{\left( { - 1} \right)}^n}}}{n}\). Xét dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) xác định bởi \({v_n} = {u_n} - 1\). Tính \(\mathop {lim}\limits_{n \to  + \infty }{v_n}\;\).

Phương pháp giải:

Dãy sô \(\left( {{u_n}} \right)\) có giới hạn là số thực a khi n dần tới dương vô cực nếu \(\left( {{u_n} - a} \right)\; = 0\).

Lời giải chi tiết:

\({u_n} = {u_n} - 1 = \frac{{n + {{\left( { - 1} \right)}^n}}}{n} - 1 = \frac{{n + {{\left( { - 1} \right)}^n} - n}}{n} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{n} \to 0\) khi \(n \to  + \infty \).

Do vậy \({v_n}\; = 0\).

LT 2

Video hướng dẫn giải

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{{{3.2}^n} - 1}}{{{2^n}}}\). Chứng minh rằng \(\mathop {lim}\limits_{n \to  + \infty } {u_n} = 3\).

Phương pháp giải:

\({u_n}\; = a\) khi và chỉ khi \(\left( {{u_n} - a} \right)\; = 0\).

Lời giải chi tiết:

\({u_n} = \frac{{3 \times {2^n} - 1}}{{{2^n}}} - 3 = \frac{{3 \times {2^n} - 1 - 3 \times {2^n}}}{{{2^n}}} =  - \frac{1}{{{2^n}}} \to 0\) khi \(n \to  + \infty \).

Do vậy \({u_n}\; = 3\).

VD 1

Video hướng dẫn giải

Một quả bóng cao su được thả từ độ cao 5 m xuống một mặt sàn. Sau mỗi lần chạm sàn, quả bóng nảy lên độ cao bằng \(\frac{2}{3}\) độ cao trước đó. Giả sử rằng quả bóng luôn chuyển động vuông góc với mặt sàn và quá trình này tiếp diễn vô hạn lần. Giả sử \({u_n}\) là độ cao (tính bằng mét) của quả bóng sau lần nảy lên thứ n. Chứng minh rằng dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có giới hạn là 0.

Phương pháp giải:

\({u_n}\; = a\) khi và chỉ khi \(\left( {{u_n} - a} \right)\; = 0\).

Tìm được độ cao của quả bóng sau mỗi lần chạm sàn là cấp số nhân.

Lời giải chi tiết:

Độ cao quả bóng sau 1 lần chạm sàn: \({u_1} = 5.\frac{2}{3}\) (m).

Độ cao quả bóng sau 2 lần chạm sàn: \({u_2} = 5.{\left( {\frac{2}{3}} \right)^2}\) (m).

Độ cao quả bóng sau n lần chạm sàn: \({u_n} = 5.{\left( {\frac{2}{3}} \right)^n}\) (m).

Vì \(|q| = \frac{2}{3} < 0\) nên \({u_n} = 5.{\left( {\frac{2}{3}} \right)^n}\) là một cấp số nhân lùi vô hạn.

Khi đó giới hạn của \({u_n} = 5.{\left( {\frac{2}{3}} \right)^n}\) bằng 0.

  • Giải mục 2 trang 106,107 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

    Cho hai dãy số (left( {{u_n}} right)) và (left( {{v_n}} right)) với ({u_n} = 2 + frac{1}{n},;;;{v_n} = 3 - frac{2}{n}) Tính và so sánh: (mathop {lim}limits_{n to + infty } left( {{u_n} + {v_n}} right)) và (mathop {lim}limits_{n to + infty } {u_n} + mathop {lim}limits_{n to + infty } {v_n})

  • Giải mục 3 trang 107, 108 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

    Cho hình vuông cạnh 1 (đơn vị độ dài). Chia hình vuông đó thành bốn hình vuông nhỏ bằng nhau, sau đó ô màu hình vuông nhỏ góc dưới bên trái (H.5.2). Lặp lại các thao tác này với hình vuông nhỏ góc trên bên phải. Giả sử quá trình trên tiếp diễn vô hạn lần. Gọi ({u_1},;{u_2}, ldots ,;{u_n}, ldots ) lần lượt là độ dài cạnh của các hình vuông được tô màu. a) Tính tổng ({S_n} = {u_1} + {u_2} + ldots + {u_n}) b) Tìm (S = mathop {lim}limits_{n to + infty } {S_n})

  • Giải mục 4 trang 108, 109 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

    Một loại vi khuẩn được nuôi cấy với số lượng ban đầu là 50. Sau mỗi chu kỳ 4 giờ, số lượng của chúng sẽ tăng gấp đôi. a) Dự đoán công thức tính số vi khuẩn ({u_n}) sau chu kì thứ n b) Sau bao lâu, số lượng vi khuẩn sẽ vượt con số 10 000?

  • Bài 5.1 trang 109 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

    Tìm các giới hạn sau: a) (mathop {lim}limits_{n to + infty } frac{{{n^2} + n + 1}}{{2{n^2} + 1}}); b) (mathop {lim}limits_{n to + infty } left( {sqrt {{n^2} + 2n} - n} right))

  • Bài 5.2 trang 109 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

    Cho hai dãy số không âm (left( {{u_n}} right)) và (left( {{v_n}} right)) với (mathop {lim}limits_{n to + infty } {u_n} = 2) và (mathop {lim}limits_{n to + infty } {v_n} = 3). Tìm các giới hạn sau: a) (mathop {lim}limits_{n to + infty } frac{{u_n^2}}{{{v_n} - {u_n}}};;) b) (mathop {lim}limits_{n to + infty } sqrt {{u_n} + 2{v_n}} )

Quảng cáo

Tham Gia Group Dành Cho 2K8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

close