Lý thuyết chia đa thức cho đơn thức

1. Qui tắc

Muốn chia đa thức $A$ cho đơn thức $B$ (trường hợp các hạng tử của đa thức $A$ đều chia hết cho đơn thức $B$), ta chia mỗi hạng tử của $A$ cho $B$ rồi cộng các kết quả với nhau.

2. Chú ý

Trường hợp đa thức $A$ có thể phân tích thành nhân tử, thường ta phân tích trước để rút gọn cho nhanh.

3. Các dạng toán cơ bản

Dạng 1: Thực hiện phép tính và rút gọn biểu thức

Phương pháp:

Sử dụng quy tắc chia đa thức cho đơn thức để thực hiện phép tính và rút gọn biểu thức.

Ví dụ: Thực hiện phép tính $\left( -12{{x}^{4}}y+4{{x}^{3}}-8{{x}^{2}}{{y}^{2}} \right):\left( -4{{x}^{2}} \right)$ 

Ta có: 

$\begin{array}{l}\left( { - 12{x^4}y + 4{x^3} - 8{x^2}{y^2}} \right):\left( { - 4{x^2}} \right)\\ = \left( { - 12{x^4}y} \right):\left( { - 4{x^2}} \right) + \left( {4{x^3}} \right):\left( { - 4{x^2}} \right) - \left( {8{x^2}{y^2}} \right):\left( { - 4{x^2}} \right)\\ = 3{x^2}y - x + 2{y^2}.\end{array}$

Dạng 2: Tính giá trị của biểu thức tại $x = {x_0}$

Phương pháp:

Thay $x = {x_0}$ vào biểu thức rồi thực hiện phép tính.

Nếu biểu thức có nhiều biến thì ta thay lần lượt từng biến theo giả thiết.

Ví dụ: 

Tính giá trị biểu thức $A = \left( {{x^2}y + {y^2}x} \right):xy$ tại $x=1;y=1$

Ta có: 

$\begin{array}{l} A = \left( {{x^2}y + {y^2}x} \right):xy\\ = {x^2}y:xy + {y^2}x:xy\\ = x + y \end{array}$

Với $x=1;y=1$ ta có: $A = x + y = 1 + 1 = 2$

Dạng 3: Tìm $m$ để phép tính chia cho trước là phép chia hết.

Phương pháp:

Sử dụng nhận xét:

Đa thức A chia hết cho đơn thức B nếu các hạng tử của đa thức $A$ đều chia hết cho đơn thức $B$.

Đơn thức $A$ chia hết cho đơn thức $B$ khi mỗi biến của $B$ đều là biến của $A$ với số mũ nhỏ hơn hoặc bằng số mũ của nó trong $A$ .

Ví dụ: Tìm số tự nhiên n để đa thức A chia hết cho đơn thức B:

$A=7{{x}^{n-1}}{{y}^{5}}-5{{x}^{3}}{{y}^{4}}$

$B=5{{x}^{2}}{{y}^{n}}$

Ta có: 

$A:B=\left( 7{{x}^{n-1}}{{y}^{5}}-5{{x}^{3}}{{y}^{4}} \right):\left( 5{{x}^{2}}{{y}^{n}} \right)$$=\left( 7{{x}^{n-1}}{{y}^{5}} \right):\left( 5{{x}^{2}}{{y}^{4}} \right)$$-\left( 5{{x}^{3}}{{y}^{4}} \right):\left( 5{{x}^{2}}{{y}^{n}} \right)$

Đa thức A chia hết cho đơn thức B khi $\left\{ \begin{array}{l}n - 1 \ge 2\\4 \ge n\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}n \ge 3\\n \le 4\end{array} \right.$

$\Rightarrow 3 \le n \le 4$ mà $n\in \mathbb N$ nên $n\in\{3;4\}$

Loigiaihay.com