Lý thuyết cấp số cộng

1. Định nghĩa

Dãy số $u_n$ là một cấp số cộng nếu $u_{n+1}=u_n+ d$ với mọi $n\in {\mathbb N}^*$, $d$ là hằng số.

$d =  u_{n+1}-u_n$ được gọi là công sai.

Chú ý: Khi $d = 0$ thì CSC là một dãy số không đổi.

Ví dụ:

Dãy số $3;6;9;12;15$ là một cấp số cộng vì:

$\begin{array}{l}6 = 3 + 3\\9 = 6 + 3\\12 = 9 + 3\\15 = 12 + 3\end{array}$

Đây là CSC có công sai $d = 3$ và số hạng đầu ${u_1} = 3$.

2. Công thức số hạng tổng quát

Công thức số hạng tổng quát: $u_n= u_1+ (n – 1)d$, (n ≥ 2, hay n là số tự nhiên bất kì lớn hơn 1).

Như vậy, công sai còn có thể tính bởi công thức: $d =  \dfrac{u_{n}-u_{1}}{n-1}$.

Ví dụ:

Cho CSC $\left( {{u_n}} \right)$ biết ${u_1} =  - 1,d = 3$. Tìm ${u_{20}}$.

Ta có:

$\begin{array}{l}{u_{20}} = {u_1} + \left( {20 - 1} \right)d\\\,\,\,\,\,\,\, = {u_1} + 19d\\\,\,\,\,\,\,\, =  - 1 + 19.3\\\,\,\,\,\,\,\, = 56\end{array}$

3. Tính chất của cấp số cộng

$u_{k}=\dfrac{u_{k-1}+u_{k+1}}{2}$ với $k ≥ 2$ hay $u_{k+1}+u_{k-1}= 2u_k$.

Ví dụ:

Cho ba số $3;x;9$ theo thứ đó lập thành một CSC. Tìm $x.$

Ta có: $x = \dfrac{{3 + 9}}{2} = 6$.

Vậy $x = 6$.

4. Công thức tính tổng n số hạng đầu

+) Công thức tính tổng thông qua số hạng đầu, cuối và số số hạng:  $S_n=  \dfrac{n(u_{1}+u_{n})}{2}$, với $n\in {\mathbb N}^*$

+) Công thức tính tổng thông qua số hạng đầu, số số hạng và công sai:

${S_n} = n{u_1} + \dfrac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}d$

${S_n} = \dfrac{{n\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]}}{2}$

Ví dụ:

Cho CSC $\left( {{u_n}} \right)$ thỏa mãn ${u_1} =  - 1,d = 3$. Tính ${S_{20}}.$

Ta có:

$\begin{array}{l}{S_{20}} = 20{u_1} + \dfrac{{20.\left( {20 - 1} \right)}}{2}.d\\\,\,\,\,\,\,\,\, = 20.\left( { - 1} \right) + \dfrac{{20.19}}{2}.3\\\,\,\,\,\,\,\,\, = 550\end{array}$

5. Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1: Nhận biết cấp số cộng

Phương pháp:

- Bước 1: Tính $d = {u_n} - {u_{n - 1}},\forall n \ge 2$.

- Bước 2: Kết luận:

+ Nếu $d$ là số không đổi thì dãy $\left( {{u_n}} \right)$ là cấp số cộng.

+ Nếu $d$ thay đổi theo $n$ thì dãy $\left( {{u_n}} \right)$ không là cấp số cộng.

Dạng 2: Tìm công sai của cấp số cộng.

Phương pháp:

Sử dụng các tính chất của cấp số cộng, biến đổi để tính công sai của cấp số cộng.

Dạng 3: Tìm số hạng của cấp số cộng.

Phương pháp:

Sử dụng công thức tính số hạng tổng quát ${u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d$

Dạng 4: Tính tổng $n$ số hạng đầu tiên của dãy.

Phương pháp:

Sử dụng công thức ${S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n} = \dfrac{{\left( {{u_1} + {u_n}} \right).n}}{2} = \dfrac{{\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right].n}}{2}$

Dạng 5: Tìm cấp số cộng

Phương pháp chung:

- Tìm các yếu tố xác định một cấp số cộng như: số hạng đầu ${u_1}$, công sai $d$.

- Tìm công thức cho số hạng tổng quát ${u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d$.

6. Bài tập về cấp số cộng

Bài 1. Cho dãy số $\dfrac{1}{2};0; - \dfrac{1}{2}; - 1; - \dfrac{3}{2}$ là cấp số cộng với:

A. Số hạng đầu tiên là $\dfrac{1}{2}$, công sai là $\dfrac{1}{2}.$

B. Số hạng đầu tiên là $\dfrac{1}{2}$, công sai là $- \dfrac{1}{2}.$

C. Số hạng đầu tiên là $0$, công sai là $\dfrac{1}{2}.$

D. Số hạng đầu tiên là $0$, công sai là $- \dfrac{1}{2}.$

Lời giải: Ta có $\dfrac{1}{2};0; - \dfrac{1}{2}; - 1; - \dfrac{3}{2}$ là cấp số cộng $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = \dfrac{1}{2}\\{u_2} - {u_1} =  - \dfrac{1}{2} = d\end{array} \right.$

Chọn đáp án B.

Bài 2. Trong các dãy số sau, dãy số nào không là cấp số cộng?

A. Dãy số $\left( {{a_n}} \right)$ với ${a_n} = 3n - 5$

B. Dãy số $\left( {{b_n}} \right)$ với ${b_n} = \sqrt 3  - \sqrt 5 n$ 

C. Dãy số $\left( {{c_n}} \right)$ với ${c_n} = {n^2} - n$

D. Dãy số $\left( {{d_n}} \right)$ với ${d_n} = 2017\cot \dfrac{{\left( {4n - 1} \right)\pi }}{2} + 2018$

Lời giải: Đáp án A ta có ${a_{n + 1}} - {a_n} = 3\left( {n + 1} \right) - 5 - \left( {3n - 5} \right)$ $= 3n + 3 - 5 - 3n + 5 = 3$

$\Rightarrow \left( {{a_n}} \right)$ là 1 CSC có công sai $d = 3.$

Đáp án B ta có  ${b_{n + 1}} - {b_n} = \left( {\sqrt 3  - \sqrt 5 \left( {n + 1} \right)} \right) - \left( {\sqrt 3  - \sqrt 5 n} \right)$ $= \sqrt 3  - \sqrt 5 n - \sqrt 5  - \sqrt 3  + \sqrt 5 n =  - \sqrt 5$

$\Rightarrow \left( {{b_n}} \right)$ là 1 CSC có công sai $d =  - \sqrt 5$

Đáp án C ta có ${c_{n + 1}} - {c_n} = {\left( {n + 1} \right)^2} - \left( {n + 1} \right) - {n^2} + n = {n^2} + 2n + 1 - n - 1 - {n^2} + n = 2n \Rightarrow \left( {{c_n}} \right)$ không là CSC.

Đáp án D ta có $\cot \dfrac{{\left( {4n - 1} \right)\pi }}{2} = 0\,\,\forall n \ge 1 \Rightarrow {d_n} = 2018\,\,\,\forall n \ge 1 \Rightarrow {d_{n + 1}} - {d_n} = 0 \Rightarrow \left( {{d_n}} \right)$ là CSC có công sai $d = 0.$

Chọn đáp án C.

Bài 3. Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ xác định bởi ${u_3} =  - 2$ và ${u_{n + 1}} = {u_n} + 3,\,\,\forall n \in N^*.$ Xác định số hạng tổng quát của cấp số cộng đó.

A. ${u_n} = 3n - 11$

B. ${u_n} = 3n - 8$

C. ${u_n} = 2n - 8$

D. ${u_n} = n - 5$

Lời giải: ${u_{n + 1}} = {u_n} + 3 \Rightarrow \left( {{u_n}} \right)$ là CSC có công sai $d = 3.$

${u_3} = {u_1} + 2d$ $\Rightarrow {u_1} = {u_3} - 2d =  - 2 - 2.3 =  - 8$

Vậy số hạng tổng quát của CSC trên là ${u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d =  - 8 + \left( {n - 1} \right).3 = 3n - 11.$

Chọn đáp án A.

Bài 4. Cho cấp số cộng $\left( {{x_n}} \right)$  có ${S_n} = 3{n^2} - 2n$. Tìm số hạng đầu ${u_1}$ và công sai $d$ của cấp số cộng đó.

A. ${u_1} = 2;d = 7$      

B. ${u_1} = 1,d = 6$     

C. ${u_1} = 1;d =  - 6$

D. ${u_1} = 2;d = 6$

Lời giải: Ta có ${S_1} = 3.1 - 2.1 = 1 = {u_1},$ ${S_2} = {3.2^2} - 2.2 = 8 = {u_1} + {u_2}$ $\Rightarrow {u_2} = 7 \Rightarrow d = {u_1} - {u_2} = 6$

Chọn đáp án B.

Bài 5. Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ có ${u_2} = 2017$ và ${u_5} = 1945.$  Tính ${u_{2018}}$ .

A. ${u_{2018}} =  - 46367$

B. ${u_{2018}} = 50449$         

C. ${u_{2018}} =  - 46391$                 

D. ${u_{2018}} = 50473$

Lời giải: $\left\{ \begin{array}{l}{u_2} = 2017\\{u_5} = 1945\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + d = 2017\\{u_1} + 4d = 1945\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 2041\\d =  - 24\end{array} \right. \\ \Rightarrow {u_{2018}} = {u_1} + 2017d \\= 2041 + 2017\left( { - 24} \right) =  - 46367$

Chọn đáp án A.

Bài 6. Cho cấp số cộng $6;x; - 2;y$. Khẳng định nào sau đây đúng ?

A. $x = 2,y = 5$  

B. $x = 4,y = 6$  

C. $x = 2,y =  - 6$          

D. $x = 4,y =  - 6$.

Lời giải: Ta có $\left\{ \begin{array}{l}6 - 2 = 2x\\x + y =  - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y =  - 6\end{array} \right.$

Chọn đáp án C.

Bài 7. Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ với $\left\{ \begin{array}{l}{u_3} + {u_5} = 5\\{u_3}.{u_5} = 6\end{array} \right..$ Tìm số hạng đầu của cấp số cộng.

A. $\left[ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\{u_1} = 4\end{array} \right.$    

B. $\left[ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\{u_1} =  - 4\end{array} \right.$

C. $\left[ \begin{array}{l}{u_1} =  - 1\\{u_1} = 4\end{array} \right.$            

D. $\left[ \begin{array}{l}{u_1} =  - 1\\{u_1} = 1\end{array} \right.$

Lời giải: $\left\{ \begin{array}{l}{u_3} + {u_5} = 5\\{u_3}.{u_5} = 6\end{array} \right. \Rightarrow {u_3},{u_5}$ là nghiệm của phương trình ${X^2} - 5X + 6 = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}X = 3\\X = 2\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{u_3} = 3\\{u_5} = 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}{u_3} = 2\\{u_5} = 3\end{array} \right.\end{array} \right.$

TH1 : $\left\{ \begin{array}{l}{u_3} = 3\\{u_5} = 2\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 2d = 3\\{u_1} + 4d = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 4\\d =  - \dfrac{1}{2}\end{array} \right.$

TH2 : $\left\{ \begin{array}{l}{u_3} = 2\\{u_5} = 3\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 2d = 2\\{u_1} + 4d = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\d = \dfrac{1}{2}\end{array} \right.$

Vậy $\left[ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\{u_1} = 4\end{array} \right.$.

Chọn đáp án A.

Bài 8. Cho các số thực $x,y,z$ thỏa mãn điều kiện ba số $\dfrac{1}{{x + y}},\dfrac{1}{{y + z}},\dfrac{1}{{z + x}}$ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề đúng ?

A. Ba số ${x^2},{y^2},{z^2}$  theo thứ tự lập thành cấp số cộng.

B. Ba số ${y^2},{z^2},{x^2}$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng.

C. Ba số ${y^2},{x^2},{z^2}$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng.

D. Ba số ${z^2},{y^2},{x^2}$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng.

Lời giải: Ta có

$\dfrac{1}{{x + y}} + \dfrac{1}{{z + x}} = 2\dfrac{1}{{y + z}} \Rightarrow yz + {z^2} + xy + xz + xy + xz + {y^2} + yz = 2\left( {xz + {x^2} + yz + xy} \right) \Leftrightarrow {z^2} + {y^2} = 2{x^2}$

Vậy ba số ${y^2},{x^2},{z^2}$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng.

Chọn đáp án C.

Bài 9. Viết sáu số xen giữa $3$ và $24$ để được một cấp số cộng có $8$ số hạng. Sáu số hạng cần viết thêm là :

A. $6, 9, 12, 15, 18, 21$

B. $21, 18, 15, 12, 9, 6$

C. $\dfrac{{13}}{2}$, $10$, $\dfrac{{27}}{2}$, $17$, $\dfrac{{41}}{2}$, $24$

D. $\dfrac{{16}}{3}$, $\dfrac{{23}}{3}$, $\dfrac{{37}}{3}$, $\dfrac{{44}}{3}$, $\dfrac{{58}}{3}$, $\dfrac{{65}}{3}$

Lời giải: $\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 3\\{u_8} = 24 = {u_1} + 7d\end{array} \right. \Rightarrow 24 = 3 + 7d \Rightarrow d = 3 \Rightarrow$ Sáu số hạng cần viết thêm là: $6,9,12,15,18,21$.

Chọn đáp án A.

Bài 10. Nghiệm của phương trình $1 + 7 + 13 +  \ldots  + x = 280$ là:

A. $x = 53$

B. $x = 55$         

C. $x = 57$

D. $x = 59$

Lời giải: Ta thấy tổng $1 + 7 + 13 +  \ldots  + x$ là tổng của  cấp số cộng với ${u_1} = 1,d = 6$.

Giả sử $x$ là số hạng thứ $n$, khi đó $x = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d = 1 + \left( {n - 1} \right)6$, và $\begin{array}{l}1 + 7 + 13 +  \ldots  + x = \dfrac{{n\left( {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right)}}{2} = \dfrac{{n\left( {2 + \left( {n - 1} \right).6} \right)}}{2} = 280\\ \Rightarrow 2n + 6n\left( {n - 1} \right) = 560\\ \Leftrightarrow 6{n^2} - 4n - 560 = 0 \Leftrightarrow n = 10\end{array}$

Vậy $x = 1 + 9.6 = 55$.

Chọn đáp án B.