Lý thuyết bất phương trình bậc nhất hai ẩn

1. Định nghĩa

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn \(x, y\) có dạng tổng quát là \(ax + by ≤ c \,\,\,(1)\)

(\(ax + by > c,ax + by ≥ c,ax + by < c\))

trong đó \(a, b, c\) là các số đã cho với \(a, b\) không đồng thời bằng 0 và x, y là các ẩn số.

Cặp số \((x_0;y_0)\) sao cho \(ax_0+ by_0\le c\) là một bất đẳng thức đúng được gọi là một nghiệm của bất phương trình \(ax + by \le c\).

2. Miền nghiệm

a. Định nghĩa

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp các điểm có tọa độ là nghiệm bất phương trình (1) được gọi là miền nghiệm của nó.

b. Định lí

Đường thẳng \(ax + by = c (d)\) chia mặt phẳng tọa độ thành hai nửa mặt phẳng bờ là \((d)\). Một trong hai nửa mặt phẳng đó (kể cả bờ) là miền nghiệm của bất phương trình \(ax + by \le c\). Nửa mặt phẳng còn lại là miền nghiệm của bất phương trình \(ax + by \ge c\).

c. Biểu diễn miền nghiệm

Quy tắc biểu diễn hình học tập nghiệm của \(ax + by ≤ c \,\,\,(1)\) như sau:

+ Bước 1: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy vẽ đường thẳng \(ax + by = c (d)\)

+ Bước 2: Lấy một điểm \(M_0(x_0;y_0)\) không thuộc (d) (ta thường lấy gốc tọa độ)

+ Bước 3: Tính \(ax_0+by_0\) và so sánh với c.

+ Bước 4: Kết luận

Nếu \(ax_0+by_0 < c \) thì nửa mặt phẳng bờ (d) chứa \(M_0\) là miền nghiệm của \(ax+by\le c\).

Nếu \(ax_0+by_0 > c \) thì nửa mặt phẳng bờ (d) không chứa \(M_0\) là miền nghiệm của \(ax+by\le c\).

3. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn gồm một số bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y mà ta phải tìm các nghiệm chung của chúng. Mỗi nghiệm chung đó được gọi là một nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

Cũng như bất phương trình bậc nhất hai ẩn, ta có thể biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Loigiaihay.com