Giải mục 2 trang 39, 40, 41, 42 Chuyên đề học tập Toán 12 - Kết nối tri thức

Luyện tập 3

Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 40 Chuyên đề học tập Toán 12 Kết nối tri thức

Một doanh nghiệp tư nhân A chuyên kinh doanh xe gắn máy các loại. Hiện nay, doanh nghiệp đang tập trung chiến lược kinh doanh một loại xe máy với chi phí mua vào là 27 triệu đồng/chiếc và giá bán ra là 31 triệu đồng/chiếc. Với giá bán này thì số lượng xe bán ra mỗi năm là 600 chiếc. Nhằm tiêu thụ dòng xe đang ăn khách này, doanh nghiệp dự định giảm giá bán. Ước tính rằng cứ giảm 1 triệu đồng/chiếc thì số lượng xe bán ra trong một năm tăng thêm 200 chiếc. Vậy doanh nghiệp phải định giá bán mới là bao nhiêu để thu được lợi nhuận là cao nhất?

Phương pháp giải:

Giải theo 5 bước giải bài toán tối ưu bằng cách sử dụng đạo hàm.

Lời giải chi tiết:

Gọi x (triệu đồng) là số tiền giảm cho mỗi chiếc xe, 0 ≤ x ≤ 31.

Khi đó, số tiền thu được khi bán một chiếc xe máy là 31 – x – 27 = 4 – x (triệu đồng)

Số lượng chiếc xe bán được là: 600 + 200x (chiếc).

Hàm chi phí cho 600 + 200x chiếc xe là: (600 + 200x).27 (triệu đồng).

Hàm doanh thu cho 600 + 200x chiếc xe là:

(600 + 200x).(31 – x) (triệu đồng).

Khi đó, lợi nhuận thu được là:

P(x) = (600 + 200x).(31 – x) – (600 + 200x).27

        = (600 + 200x)(4 – x) = 2 400 + 200x – 200x² (triệu đồng).

Để tối đa hóa lợi nhuận, thì ta phải tìm giá trị lớn nhất của hàm P(x) với 0 ≤ x ≤ 31.

Ta có P’(x) = 200 – 400x = 0 khi x = 0,5.

Khi đó P(0,5) = 2 450 (triệu đồng) là giá trị lớn nhất của hàm lợi nhuận, đạt được khi x = 0,5. Tức là mỗi chiếc xe nên giảm giá 0,5 triệu đồng.

Vậy doanh nghiệp nên định giá bán mới là 30,5 triệu đồng để thu được lợi nhuận cao nhất.

Luyện tập 4

Trả lời câu hỏi Luyện tập4 trang 41 Chuyên đề học tập Toán 12 Kết nối tri thức

Biết rằng \(C\left( x \right) = 16{\rm{ }}000 + 500x--1,64{x^2} + 0,004{x^3}\;\)là hàm chi phí và \(p\left( x \right) = 1{\rm{ }}700--7x\) là hàm cầu của x đơn vị hàng hóa. Hãy tìm mức sản xuất để lợi nhuận là lớn nhất.

Phương pháp giải:

Giải theo 5 bước giải bài toán tối ưu bằng cách sử dụng đạo hàm.

Lời giải chi tiết:

Hàm lợi nhuận là:

\(\begin{array}{l}P\left( x \right) = xp\left( x \right)--C\left( x \right)\\ = x.\left( {1{\rm{ }}700--7x} \right)--(16{\rm{ }}000 + 500x--1,64{x^2} + 0,004{x^3})\\ = 1{\rm{ }}700x--7{x^2}--16{\rm{ }}000 - 500x + 1,64{x^2}--0,004{x^3}\\ = --0,004{x^3}--5,36{x^2} + 1{\rm{ }}200x--16{\rm{ }}000.\end{array}\)

Ta cần tìm x để P(x) là lớn nhất.

Ta có

 \(\begin{array}{l}P'\left( x \right) = --0,012{x^2}--10,72x + 1{\rm{ }}200.\\\begin{array}{*{20}{l}}{P'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow  - 0,012{x^2}--10,72x + 1{\rm{ }}200 = 0}\\{ \Leftrightarrow x{\rm{ }} \approx {\rm{ }}100,61.}\end{array}\end{array}\)

Ta có P(100) = 46 400 và P(101) = 46 401,436 nên P(100) < P(101).

Do số đơn vị hàng hóa phải là số nguyên dương nên để lợi nhuận lớn nhất thì mức sản xuất mỗi ngày là 101 đơn vị hàng hóa.