Giải bài 9 trang 11 sách bài tập toán 11 - Cánh diềuChứng minh rằng: Đã có lời giải SGK Toán lớp 12 - Cánh diều (mới) Đầy đủ - Chi tiết - Chính xác Quảng cáo
Đề bài Chứng minh rằng: a) \({\sin ^4}x + {\cos ^4}x = 1 - 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x\). b) \({\sin ^6}x + {\cos ^6}x = 1 - 3{\sin ^2}x{\cos ^2}x\). Phương pháp giải - Xem chi tiết a) Sử dụng hằng đẳng thức \({\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}\) với \(A = {\sin ^2}x\), \(B = {\cos ^2}x\) Sử dụng công thức \({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1\). b) Sử dụng hằng đẳng thức \({\left( {A + B} \right)^3} = {A^3} + {B^3} + 3AB\left( {A + B} \right)\) với \(A = {\sin ^2}x\), \(B = {\cos ^2}x\); Sử dụng công thức \({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1\). Lời giải chi tiết a) Ta có: \({\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^2} = {\left( {{{\sin }^2}x} \right)^2} + {\left( {{{\cos }^2}x} \right)^2} + 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x\) \( = {\sin ^4}x + {\cos ^4}x + 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x\) Do \({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1\), ta suy ra \({1^2} = {\sin ^4}x + {\cos ^4}x + 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x \Rightarrow {\sin ^4}x + {\cos ^4}x = 1 - 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x\) Bài toán được chứng minh. b) Ta có: \({\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^3} = {\left( {{{\sin }^2}x} \right)^3} + {\left( {{{\cos }^2}x} \right)^3} + 3{\sin ^2}x{\cos ^2}x\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)\) \( = {\sin ^6}x + {\cos ^6}x + 3{\sin ^2}x{\cos ^2}x\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)\) Do \({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1\), ta suy ra \(1 = {\sin ^6}x + {\cos ^6}x + 3{\sin ^2}x{\cos ^2}x \Rightarrow {\sin ^6}x + {\cos ^6}x = 1 - 3{\sin ^2}x{\cos ^2}x\) Bài toán được chứng minh.
Quảng cáo
|