Giải bài 13 trang 11 sách bài tập toán 11 - Cánh diều

Đề bài

Cho $\sin \alpha  + \cos \alpha  = \frac{1}{3}$ với $- \frac{\pi }{2} < \alpha  < 0$. Tính:

a) $A = \sin \alpha .\cos \alpha$                                

b) $B = \sin \alpha  - \cos \alpha$

c) $C = {\sin ^3}\alpha  + {\cos ^3}\alpha$                                  

d) $D = {\sin ^4}\alpha  + {\cos ^4}\alpha$

Lời giải chi tiết

a) Ta có ${\left( {\sin \alpha  + \cos \alpha } \right)^2} = {\sin ^2}\alpha  + 2\sin \alpha .\cos \alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1 + 2\sin \alpha \cos \alpha$

Suy ra $A = \sin \alpha .\cos \alpha  = \frac{{{{\left( {\sin \alpha  + \cos \alpha } \right)}^2} - 1}}{2} = \frac{{{{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^2} - 1}}{2} =  - \frac{4}{9}$

b) Ta có ${B^2} = {\left( {\sin \alpha  - \cos \alpha } \right)^2} = {\sin ^2}\alpha  - 2\sin \alpha .\cos \alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1 - 2\sin \alpha \cos \alpha$

Theo câu a, ta có $\sin \alpha .\cos \alpha  =  - \frac{4}{9}$ nên ${B^2} = 1 - 2\left( { - \frac{4}{9}} \right) = \frac{{17}}{9} \Rightarrow B =  \pm \frac{{\sqrt {17} }}{3}$.

Do $- \frac{\pi }{2} < \alpha  < 0$ , ta suy ra $\sin \alpha  < 0$, $\cos \alpha  > 0$. Từ đó $B = \sin \alpha  - \cos \alpha  < 0$.

Như vậy $B =  - \frac{{\sqrt {17} }}{3}$

c) Ta có ${\left( {\sin \alpha  + \cos \alpha } \right)^3} = {\sin ^3}\alpha  + {\cos ^3}\alpha  + 3\sin \alpha .\cos \alpha \left( {\sin \alpha  + \cos \alpha } \right)$

Theo câu a, ta có $\sin \alpha .\cos \alpha  =  - \frac{4}{9}$ nên:

$C = {\left( {\sin \alpha  + \cos \alpha } \right)^3} - 3\sin \alpha .\cos \alpha \left( {\sin \alpha  + \cos \alpha } \right) = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^3} - 3.\frac{{ - 4}}{9}.\frac{1}{3} = \frac{{13}}{{27}}$.

d) Ta có ${\left( {{{\sin }^2}\alpha  + {{\cos }^2}\alpha } \right)^2} = {\left( {{{\sin }^2}\alpha } \right)^2} + {\left( {{{\cos }^2}\alpha } \right)^2} + 2{\sin ^2}\alpha {\cos ^2}\alpha$

                                      $= {\sin ^4}\alpha  + {\cos ^4}\alpha  + 2{\sin ^2}\alpha {\cos ^2}\alpha$

Theo câu a, ta có $\sin \alpha .\cos \alpha  =  - \frac{4}{9}$ nên:

$D = {\left( {{{\sin }^2}\alpha  + {{\cos }^2}\alpha } \right)^2} - 2{\left( {\sin \alpha .\cos \alpha } \right)^2} = 1 - 2{\left( { - \frac{4}{9}} \right)^2} = \frac{{49}}{{81}}$