Giải bài 81 trang 38 sách bài tập toán 12 - Cánh diều

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của mỗi hàm số sau: a) (y = frac{{2{rm{x}} - 1}}{{x + 1}}); b) (y = frac{x}{{x - 2}}); c) (y = frac{{{x^2} - 2{rm{x}} + 2}}{{ - x + 1}}); d) (y = frac{{{x^2} + 2{rm{x}} - 3}}{{x + 2}}).

Tổng hợp đề thi học kì 1 lớp 12 tất cả các môn - Cánh diều

Toán - Văn - Anh - Lí - Hóa - Sinh - Sử - Địa

Quảng cáo

Đề bài

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của mỗi hàm số sau:

a) \(y = \frac{{2{\rm{x}} - 1}}{{x + 1}}\);                        

b) \(y = \frac{x}{{x - 2}}\);

c) \(y = \frac{{{x^2} - 2{\rm{x}} + 2}}{{ - x + 1}}\);         

d) \(y = \frac{{{x^2} + 2{\rm{x}} - 3}}{{x + 2}}\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sơ đồ khảo sát hàm số:

Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số. 

Bước 2. Xét sự biến thiên của hàm số 

• Tìm các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tìm các đường tiệm cận của đồ thị (nếu có). 

• Lập bảng biến thiên của hàm số, bao gồm: tính đạo hàm của hàm số, xét dấu đạo hàm, xét chiều biến thiên và tìm cực trị của hàm số (nếu có), điền các kết quả vào bảng. 

Bước 3. Vẽ đồ thị hàm số 

• Vẽ các đường tiệm cận (nếu có).

• Xác định các điểm đặc biệt của đồ thị: cực trị, giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ (trong trường hợp đơn giản),… 

• Nhận xét về đặc điểm của đồ thị: chỉ ra tâm đối xứng, trục đối xứng (nếu có).

Lời giải chi tiết

a) 1) Tập xác định: \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\).

2) Sự biến thiên:

• Giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và các đường tiệm cận:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = 2;\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = 2\).

Do đó, đường thẳng \(y = 2\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} y =  + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} y =  - \infty \).

Do đó, đường thẳng \(x =  - 1\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

• Bảng biến thiên:

\(y' = \frac{3}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} > 0,\forall x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\).

Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( { - 1; + \infty } \right)\).

3) Đồ thị

• Giao điểm của đồ thị với trục tung: \(\left( {0; - 1} \right)\).

• Đồ thị hàm số đi qua các điểm: \(\left( { - 4;2} \right),\left( { - 2;5} \right),\left( {0; - 1} \right),\left( {2;1} \right)\).

Vậy đồ thị hàm số \(y = \frac{{2{\rm{x}} - 1}}{{x + 1}}\) như hình vẽ bên:

• Đồ thị hàm số nhận giao điểm \(I\left( { - 1;2} \right)\) của hai đường tiệm cận của đồ thị làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận đó làm trục đối xứng.

b) 1) Tập xác định: \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\).

2) Sự biến thiên:

• Giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và các đường tiệm cận:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = 1;\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = 1\).

Do đó, đường thẳng \(y = 1\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} y =  - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} y =  + \infty \).

Do đó, đường thẳng \(x = 2\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

• Bảng biến thiên:

\(y' = \frac{{ - 2}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} < 0,\forall x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\).

Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;2} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\).

3) Đồ thị

• Giao điểm của đồ thị với trục tung: \(O\left( {0;0} \right)\).

• Đồ thị hàm số đi qua các điểm: \(\left( {0;0} \right),\left( {1; - 1} \right),\left( {3;3} \right),\left( {4;2} \right)\).

Vậy đồ thị hàm số \(y = \frac{x}{{x - 2}}\) như hình vẽ bên:

• Đồ thị hàm số nhận giao điểm \(I\left( { - 1;2} \right)\) của hai đường tiệm cận của đồ thị làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận đó làm trục đối xứng.

c) \(y = \frac{{{x^2} - 2{\rm{x}} + 2}}{{ - x + 1}} \Leftrightarrow y =  - x + 1 + \frac{1}{{ - x + 1}}\)

1) Tập xác định: \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).

2) Sự biến thiên:

• Giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và các đường tiệm cận:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y =  - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y =  + \infty \).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y =  + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y =  - \infty \).

Do đó, đường thẳng \(x = 1\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {y - \left( { - x + 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{1}{{ - x + 1}} = 0;\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left[ {y - \left( { - x + 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{1}{{ - x + 1}} = 0\)

Do đó, đường thẳng \(y =  - x + 1\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

• Bảng biến thiên:

\(\begin{array}{l}y' = \frac{{{{\left( {{x^2} - 2{\rm{x}} + 2} \right)}^\prime }\left( { - x + 1} \right) - \left( {{x^2} - 2{\rm{x}} + 2} \right){{\left( { - x + 1} \right)}^\prime }}}{{{{\left( { - x + 1} \right)}^2}}}\\ &  = \frac{{\left( {2{\rm{x}} - 2} \right)\left( { - x + 1} \right) - \left( {{x^2} - 2{\rm{x}} + 2} \right)\left( { - 1} \right)}}{{{{\left( { - x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{ - {x^2} + 2{\rm{x}}}}{{{{\left( { - x + 1} \right)}^2}}}\end{array}\)

\(y' = 0 \Leftrightarrow  - {x^2} + 2{\rm{x}} = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \({\rm{x}} = 2\).

Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\); đồng biến trên các khoảng \(\left( {0;1} \right)\) và \(\left( {1;2} \right)\).

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 0,{y_{CT}} = 2\); đạt cực đại tại \(x = 2,{y_{CĐ}} = -2\).

3) Đồ thị

• Giao điểm của đồ thị với trục tung: \(\left( {0;2} \right)\).

• Đồ thị hàm số đi qua các điểm: \(\left( { - 1;\frac{5}{2}} \right),\left( {0;2} \right),\left( {2; - 2} \right),\left( {3; - \frac{5}{2}} \right)\).

Vậy đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^2} - 2{\rm{x}} + 2}}{{ - x + 1}}\) như hình vẽ bên:

• Đồ thị hàm số nhận giao điểm \(I\left( {1;0} \right)\) của hai đường tiệm cận của đồ thị làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận đó làm trục đối xứng.

d) \(y = \frac{{{x^2} + 2{\rm{x}} - 3}}{{x + 2}} \Leftrightarrow y = x - \frac{3}{{x + 2}}\)

1) Tập xác định: \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2} \right\}\).

2) Sự biến thiên:

• Giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và các đường tiệm cận:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y =  + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y =  - \infty \).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ - }} y =  + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ + }} y =  - \infty \).

Do đó, đường thẳng \(x =  - 2\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {y - x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{ - 3}}{{x + 2}} = 0;\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left[ {y - x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{ - 3}}{{x + 2}} = 0\)

Do đó, đường thẳng \(y = x\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

• Bảng biến thiên:

\(y' = 1 + \frac{3}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} > 0,\forall x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2} \right\}\)

Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và \(\left( { - 2; + \infty } \right)\).

3) Đồ thị

• Giao điểm của đồ thị với trục tung: \(\left( { - \frac{3}{2};0} \right)\).

• Đồ thị hàm số đi qua các điểm: \(\left( { - 5; - 4} \right),\left( { - 3;0} \right),\left( { - 1; - 4} \right),\left( {0; - \frac{3}{2}} \right),\left( {1;0} \right)\).

Vậy đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 2{\rm{x}} - 3}}{{x + 2}}\) như sau:

• Đồ thị hàm số nhận giao điểm \(I\left( {1;0} \right)\) của hai đường tiệm cận của đồ thị làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận đó làm trục đối xứng.

  • Giải bài 82 trang 38 sách bài tập toán 12 - Cánh diều

    Một máy bay loại nhỏ bắt đầu hạ cánh, đường bay của nó khi gắn với hệ trục toạ độ (Oxy) được mô phỏng ở Hình 24. Biết đường bay của nó có dạng đồ thị hàm số bậc ba; vị trí bắt đầu hạ cánh có toạ độ (left( { - 4;1} right)) là điểm cực đại của đồ thị hàm số và máy bay tiếp đất tại vị trí gốc toạ độ là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số. a) Tìm công thức xác định hàm số mô phỏng đường bay của máy bay trên đoạn (left[ { - 4;0} right]). b) Khi máy bay cách vị trí hạ cánh theo phương ngang 3

  • Giải bài 80 trang 38 sách bài tập toán 12 - Cánh diều

    Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của mỗi hàm số sau: a) (y = left( {x - 2} right){left( {x + 1} right)^2}); b) (y = - frac{1}{3}{x^3} - {x^2} + 2); c) (y = 2{{rm{x}}^3} - 3{{rm{x}}^2} + 2{rm{x}} - 1); d) (y = - frac{1}{4}left( {{x^3} - 6{{rm{x}}^2} + 12{rm{x}}} right)).

  • Giải bài 79 trang 38 sách bài tập toán 12 - Cánh diều

    Cho hàm số (y = fleft( x right) = frac{{a{x^2} + bx + c}}{{mx + n}}) (với (a,m ne 0)) có đồ thị là đường cong như Hình 23. Căn cứ vào đồ thị hàm số: a) Tìm khoảng đơn điệu, điểm cực đại, cực tiểu của hàm số. b) Viết phương trình đường tiệm cận đứng, tiệm cận xiên của đồ thị hàm số. c) Phương trình (fleft( x right) = 3) có bao nhiêu nghiệm? d) Tìm công thức xác định hàm số (y = fleft( x right)), biết (m = 1).

  • Giải bài 78 trang 37 sách bài tập toán 12 - Cánh diều

    Cho hàm số bậc ba (y = fleft( x right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d) có đồ thị là đường cong như Hình 22. Căn cứ vào đồ thị hàm số: a) Tìm khoảng đơn điệu, điểm cực đại, cực tiểu của hàm số. b) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn (left[ { - 1;2} right]) c) Tìm điểm trên đồ thị hàm số có hoành độ bằng 2. d) Tìm điểm trên đồ thị hàm số có tung độ bằng 2. e) Đường thẳng (y = 1) cắt đồ thị hàm số (y = fleft( x right)) tại mấy điểm? g) Với giá trị nào củ

  • Giải bài 77 trang 37 sách bài tập toán 12 - Cánh diều

    Trong mỗi ý a), b), c), d), chọn phương án đúng (Đ) hoặc sai (S). Cho hàm số (y = frac{{a{x^2} + bx + c}}{{x + n}}) có đồ thị là đường cong ở Hình 21. a) (n < 0). b) (a > 0). c) (c > 0). d) (b < 0).

Quảng cáo

Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

close