Giải bài 79 trang 38 sách bài tập toán 12 - Cánh diều

Đề bài

Cho hàm số $y = f\left( x \right) = \frac{{a{x^2} + bx + c}}{{mx + n}}$ (với $a,m \ne 0$) có đồ thị là đường cong như Hình 23. Căn cứ vào đồ thị hàm số:

a) Tìm khoảng đơn điệu, điểm cực đại, cực tiểu của hàm số.

b) Viết phương trình đường tiệm cận đứng, tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

c) Phương trình $f\left( x \right) = 3$ có bao nhiêu nghiệm?

d) Tìm công thức xác định hàm số $y = f\left( x \right)$, biết $m = 1$.

Lời giải chi tiết

a) Dựa vào đồ thị hàm số, ta có:

‒ Hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( { - \infty ; - 3} \right)$ và $\left( { - 1; + \infty } \right)$; nghịch biến trên các khoảng $\left( { - 3; - 2} \right)$ và $\left( { - 2; - 1} \right)$.

‒ Hàm số đạt cực đại tại điểm $x =  - 3$, đạt cực tiểu tại điểm $x =  - 1$.

b)

• Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đi qua điểm có hoành độ ‒2.

Vậy $x =  - 2$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

• Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đi qua hai điểm $\left( { - 1;0} \right)$ và $\left( { - 2; - 1} \right)$.

Vậy đường thẳng $y = x + 1$ là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

c) Đường thẳng $y = 3$ cắt đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ tại 2 điểm. Vậy phương trình $f\left( x \right) = 3$ có 2 nghiệm.

d) Đồ thị hàm số có $x =  - 2$ là tiệm cận đứng. Vậy $- \frac{n}{m} =  - 2 \Leftrightarrow  - \frac{n}{1} =  - 2 \Leftrightarrow n = 2$.

Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số có hệ số góc bằng 1. Vậy $\frac{a}{m} = 1 \Leftrightarrow \frac{a}{1} = 1 \Leftrightarrow a = 1$.

Đồ thị hàm số đi qua điểm $\left( { - 1;1} \right)$ nên ta có: $\frac{{1.{{\left( { - 1} \right)}^2} + b.\left( { - 1} \right) + c}}{{\left( { - 1} \right) + 2}} = 1 \Leftrightarrow  - b + c = 0$.

Đồ thị hàm số đi qua điểm $\left( { - 3; - 3} \right)$ nên ta có: $\frac{{1.{{\left( { - 3} \right)}^2} + b.\left( { - 3} \right) + c}}{{\left( { - 3} \right) + 2}} =  - 3 \Leftrightarrow  - 3b + c =  - 6$.

Từ đó ta có $b = 3,c = 3$.

Vậy hàm số cần tìm là: $y = f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 3{\rm{x}} + 3}}{{{\rm{x}} + 2}}$.