Giải bài 8 trang 22 Chuyên đề học tập Toán 12 - Chân trời sáng tạo

Đề bài

Thức ăn chăn nuôi A gồm 60% bột ngô và 40% bột đậu nành, thức ăn chăn nuôi B gồm 80% bột ngô và 20% bột đậu nành. Hiện tại xí nghiệp sản xuất chỉ còn 2,4 tấn bột ngô và 1,2 tấn bột đậu nành. Với số nguyên liệu này, xí nghiệp đó nên sản xuất khối lượng bao nhiêu mỗi loại sản phẩm A và B để thu được lợi nhuận cao nhất? Biết rằng A cho lợi nhuận 2 triệu đồng/tấn và B cho lợi nhuận 1,8 triệu đồng/tấn.

Lời giải chi tiết

Gọi \(x,y\left( {x \ge 0,y \ge 0} \right)\) lần lượt là số tấn sản phẩm A và B được sản xuất.

Xí nghiệp sản xuất chỉ còn 2,4 tấn bột ngô nên ta có \(0,6x + 0,8y \le 2,4\) hay \(3x + 4y - 12 \le 0\).

Xí nghiệp sản xuất chỉ còn 1,2 tấn bột đậu nành nên ta có \(0,4x + 0,2y \le 1,2\) hay \(2x + y - 6 \le 0\).

Lợi nhuận thu được là \(F = 2x + 1,8y\) (triệu đồng).

Từ đó, ta cần giải bài toán quy hoạch tuyến tính: \(F = 2x + 1,8y \to \max \) với ràng buộc \(\left\{ \begin{array}{l}3x + 4y - 12 \le 0\\2x + y - 6 \le 0\\x \ge 0\\y \ge 0\end{array} \right.\)

Tập phương án \({\Omega }\) là miền tứ giác \(OABC\).

Ta có \(A\left( {0;3} \right),C\left( {3;0} \right)\).

Toạ độ \(B\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}3x + 4y - 12 \le 0\\2x + y - 6 \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2,4\\y = 1,2\end{array} \right.\). Vậy \(B\left( {2,4;1,2} \right)\).

Giá trị của biểu thức \(F\) tại các đỉnh của \({\Omega }\):

\(F\left( {0;0} \right) = 0;F\left( {0;3} \right) = 5,4;F\left( {2,4;1,2} \right) = 6,96;F\left( {3;0} \right) = 6\)

Do đó: \(\mathop {\max }\limits_{\Omega } F = F\left( {2,4;1,2} \right) = 6,96\).

Vậy để thu được nhiều lợi nhuận nhất thì nhà sản xuất cần sản xuất 2,4 tấn sản phẩm A và 1,2 tấn sản phẩm B.