Giải bài 11 trang 23 Chuyên đề học tập Toán 12 - Chân trời sáng tạo

Đề bài

Cho mạch điện có sơ đồ như Hình 4. Nguồn điện có suất điện động \(E = 4V\) và điện trở trong \(r = 2{\Omega }\). Điện trở ở mạch ngoài là \(R\left({\Omega } \right)\) thay đổi. Cường độ dòng điện \(I\left( A \right)\) chạy trong mạch và công suất \(P\left( W \right)\) của dòng điện ở mạch ngoài được tính lần lượt theo các công thức
\(I = \frac{E}{{r + R}}\) và \(P = {I^2}R\)
(Vật lí 11, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam, 2012, trang 49, 51).
Điện trở \(R\) bằng bao nhiêu thì công suất \(P\) có giá trị lớn nhất? Tính giá trị lớn nhất đó.

Lời giải chi tiết

Ta có: \(I = \frac{4}{{2 + R}};P = {I^2}R = {\left( {\frac{4}{{2 + R}}} \right)^2}.R = \frac{{16R}}{{{{\left( {R + 2} \right)}^2}}}\)

Xét hàm số \(P\left( R \right) = \frac{{16R}}{{{{\left( {R + 2} \right)}^2}}}\) trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}P'\left( R \right) = \frac{{{{\left( {16R} \right)}^\prime }.{{\left( {R + 2} \right)}^2} - 16R.{{\left[ {{{\left( {R + 2} \right)}^2}} \right]}^\prime }}}{{{{\left( {R + 2} \right)}^4}}} = \frac{{16{{\left( {R + 2} \right)}^2} - 16R.2\left( {R + 2} \right)}}{{{{\left( {R + 2} \right)}^4}}}\\ = \frac{{16\left( {R + 2} \right) - 32R}}{{{{\left( {R + 2} \right)}^3}}} = \frac{{16\left( {2 - R} \right)}}{{{{\left( {R + 2} \right)}^3}}}\end{array}\)

\(P'\left( R \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{{16\left( {2 - R} \right)}}{{{{\left( {R + 2} \right)}^3}}} = 0 \Leftrightarrow R = 2\).

Bảng biến thiên của hàm số trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\):

Từ bảng biến thiên, ta thấy \(\mathop {\max }\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} P\left( R \right) = P\left( 2 \right) = 2\).

Vậy công suất \(P\) có giá trị lớn nhất khi điện trở \(R = 2\left( {\Omega } \right)\).