Giải bài 11 trang 23 Chuyên đề học tập Toán 12 - Chân trời sáng tạo

Đề bài

Cho mạch điện có sơ đồ như Hình 4. Nguồn điện có suất điện động $E = 4V$ và điện trở trong $r = 2{\Omega }$. Điện trở ở mạch ngoài là $R\left({\Omega } \right)$ thay đổi. Cường độ dòng điện $I\left( A \right)$ chạy trong mạch và công suất $P\left( W \right)$ của dòng điện ở mạch ngoài được tính lần lượt theo các công thức
$I = \frac{E}{{r + R}}$ và $P = {I^2}R$
(Vật lí 11, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam, 2012, trang 49, 51).
Điện trở $R$ bằng bao nhiêu thì công suất $P$ có giá trị lớn nhất? Tính giá trị lớn nhất đó.

Lời giải chi tiết

Ta có: $I = \frac{4}{{2 + R}};P = {I^2}R = {\left( {\frac{4}{{2 + R}}} \right)^2}.R = \frac{{16R}}{{{{\left( {R + 2} \right)}^2}}}$

Xét hàm số $P\left( R \right) = \frac{{16R}}{{{{\left( {R + 2} \right)}^2}}}$ trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$.

Ta có:

$\begin{array}{l}P'\left( R \right) = \frac{{{{\left( {16R} \right)}^\prime }.{{\left( {R + 2} \right)}^2} - 16R.{{\left[ {{{\left( {R + 2} \right)}^2}} \right]}^\prime }}}{{{{\left( {R + 2} \right)}^4}}} = \frac{{16{{\left( {R + 2} \right)}^2} - 16R.2\left( {R + 2} \right)}}{{{{\left( {R + 2} \right)}^4}}}\\ = \frac{{16\left( {R + 2} \right) - 32R}}{{{{\left( {R + 2} \right)}^3}}} = \frac{{16\left( {2 - R} \right)}}{{{{\left( {R + 2} \right)}^3}}}\end{array}$

$P'\left( R \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{{16\left( {2 - R} \right)}}{{{{\left( {R + 2} \right)}^3}}} = 0 \Leftrightarrow R = 2$.

Bảng biến thiên của hàm số trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$:

Từ bảng biến thiên, ta thấy $\mathop {\max }\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} P\left( R \right) = P\left( 2 \right) = 2$.

Vậy công suất $P$ có giá trị lớn nhất khi điện trở $R = 2\left( {\Omega } \right)$.