Giải bài 7.16 trang 38 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho đường thẳng \(d:x - 2y + 1 = 0\) và điểm \(A\left( { - 2;2} \right)\)

a) Chứng minh A không thuộc đường thẳng d

b) Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A trên đường thẳng d

c) Xác định điểm đối xứng của A qua đường thẳng d

Lời giải chi tiết

a) Thay tọa độ điểm A vào phương trình đường thẳng d ta có: \( - 2 - 2.2 + 1 =  - 5 \ne 0\) nên điểm A không thuộc đường thẳng d

b) Gọi điểm H là chân đường cao hạ từ A đến đường thẳng d, khi đó AH vuông góc với d \( \Rightarrow \overrightarrow {{v_{AH}}}  = \overrightarrow {{n_d}}  = \left( {1; - 2} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_{AH}}}  = \left( {2;1} \right)\)

+ Phương trình đường thẳng AH đi qua \(A\left( { - 2;2} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{n_{AH}}}  = \left( {2;1} \right)\): \(AH:2\left( {x + 2} \right) + 1\left( {y - 2} \right) = 0 \Rightarrow AH:2x + y + 2 = 0\)

+ \(H = AH \cap d \Rightarrow H:\left\{ \begin{array}{l}x - 2y + 1 = 0\\2x + y + 2 = 0\end{array} \right. \Rightarrow H\left( { - 1;0} \right)\)

c) Điểm A’ đối xứng với A qua d khi đó H là trung điểm của AA’

Suy ra \(A'\left( {2.\left( { - 1} \right) + 2;2.0 - 2} \right) \Rightarrow A'\left( {0; - 2} \right)\)