Giải bài 7 trang 60 sách bài tập toán 8 – Cánh diều

Đề bài

Cho $ABCD$ là hình bình hành. Một đường thẳng $d$ đi qua $A$ cắt $BD,BC,DC$ lần lượt tại $E,K,G$ (Hình 11). Chứng minh:

a)      $A{E^2} = EK.EG$

b)     $\frac{1}{{AE}} = \frac{1}{{AK}} + \frac{1}{{AG}}$

 

Lời giải chi tiết

a)      Do $AD//BK,AB//DG$ nên theo hệ quả của định lí Thales, ta có:

$\frac{{EK}}{{AE}} = \frac{{EB}}{{ED}} = \frac{{AE}}{{EG}}$ hay $\frac{{EK}}{{AE}} = \frac{{AE}}{{EG}}$

→    $A{E^2} = EK.EG$.

b)     Ta có:

$\frac{{AE}}{{AK}} = \frac{{DE}}{{DB}};\frac{{AE}}{{AG}} = \frac{{BE}}{{BD}}$

Nên $\frac{{AE}}{{AK}} + \frac{{AE}}{{AG}} = \frac{{DE}}{{DB}} + \frac{{BE}}{{BD}} = \frac{{BD}}{{BD}} = 1$

→    $AE.\left( {\frac{1}{{AK}} + \frac{1}{{AG}}} \right) = 1$

Vậy $\frac{1}{{AE}} = \frac{1}{{AK}} = \frac{1}{{AG}}$.