Giải bài 68 trang 70 sách bài tập toán 12 - Cánh diều

Đề bài

Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng \(\left( P \right)\) trong mỗi trường hợp sau:

a) \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(M\left( {6; - 7;10} \right)\) và có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left( {1; - 2;1} \right)\);

b) \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(N\left( { - 3;8; - 4} \right)\) và có một cặp vectơ chỉ phương là

\(\overrightarrow u  = \left( {3; - 2; - 1} \right),\overrightarrow v  = \left( {1;4; - 5} \right)\);

c) \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(I\left( {1; - 4;0} \right)\) và song song với mặt phẳng \(\left( Q \right):5x + 6y - 7z - 8 = 0\);

d) \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(K\left( {0; - 3;4} \right)\) và vuông góc với đường thẳng

\(\Delta :\frac{{x - 4}}{{ - 1}} = \frac{y}{3} = \frac{{z - 7}}{2}\).

Lời giải chi tiết

a) Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) là:

\(1\left( {x - 6} \right) - 2\left( {y + 7} \right) + 1\left( {z - 10} \right) = 0 \Leftrightarrow {\rm{x}} - 2y + z - 30 = 0\).

b) Ta có: \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right] = \left( {14;14;14} \right) = 14\left( {1;1;1} \right)\). Do đó \(\overrightarrow n  = \left( {1;1;1} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của \(\left( P \right)\).

Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) là:

\(1\left( {x + 3} \right) + 1\left( {y - 8} \right) + 1\left( {z + 4} \right) = 0 \Leftrightarrow x + y + z - 1 = 0\).

c) Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {5;6; - 7} \right)\).

Vì \(\left( P \right)\parallel \left( Q \right)\) nên \(\overrightarrow n  = \left( {5;6; - 7} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của \(\left( P \right)\).

Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) là:

\(5\left( {x - 1} \right) + 6\left( {y + 4} \right) - 7\left( {z - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow 5x + 6y - 7z + 19 = 0\).

d) Đường thẳng \(\Delta \) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( { - 1;3;2} \right)\).

Vì \(\left( P \right) \bot \Delta \) nên \(\overrightarrow u  = \left( { - 1;3;2} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của \(\left( P \right)\).

Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) là:

\( - 1\left( {x - 0} \right) + 3\left( {y + 3} \right) + 2\left( {z - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow  - x + 3y + 2z + 1 = 0\).