Giải bài 6.27 trang 19 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sốngCho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: Quảng cáo
Đề bài Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: \({b^2}{x^2} - ({b^2} + {c^2} - {a^2})x + {c^2} > 0,\forall x \in \mathbb{R}\) Phương pháp giải - Xem chi tiết Bước 1: Tính giá trị của ∆ Bước 2: Áp dụng bất đẳng thức tam giác để chứng minh ∆ < 0 Bước 3: Kết luận Lời giải chi tiết Tam thức bậc hai \({b^2}{x^2} - ({b^2} + {c^2} - {a^2})x + {c^2}\) có ∆ = \({({b^2} + {c^2} - {a^2})^2} - 4{b^2}{c^2}\) \( = ({b^2} + {c^2} - {a^2} - 2bc)({b^2} + {c^2} - {a^2} + 2bc)\) \( = \left[ {{{(b - c)}^2} - {a^2}} \right]\left[ {{{(b + c)}^2} - {a^2}} \right]\) \( = (b - c - a)(b - c + a)(b + c - a)(b + c + a)\) \( = - (a + c - b)(a + b - c)(b + c - a)(a + b + c)\) Do a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác nên a > 0, b > 0, c > 0 và a + b + c > 0 Theo bất đẳng thức tam giác ta có: \(\begin{array}{l}a + b > c \Leftrightarrow a + b - c > 0\\b + c > a \Leftrightarrow b + c - a > 0\\a + c > b \Leftrightarrow a + c - b > 0\end{array}\) Do đó \((a + c - b)(a + b - c)(b + c - a)(a + b + c) > 0\) \( \Rightarrow - (a + c - b)(a + b - c)(b + c - a)(a + b + c) < 0\) \( \Rightarrow \Delta < 0\) với mọi a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác Vì hệ số a = b2 > 0 và ∆ < 0 nên BPT \({b^2}{x^2} - ({b^2} + {c^2} - {a^2})x + {c^2} > 0\) nghiệm đúng \(\forall x \in \mathbb{R}\) Vậy \({b^2}{x^2} - ({b^2} + {c^2} - {a^2})x + {c^2} > 0,\forall x \in \mathbb{R}\)
Quảng cáo
|