Giải bài 6 trang 37 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều

Đề bài

Xét khai triển \({\left( {\frac{x}{2} + \frac{1}{5}} \right)^{21}}\)

a) Xác định hệ số của \({x^{10}}\)

b) Nêu số hạng tổng quát trong khai triển nhị thức trên, từ đó nêu hệ số \({a_k}\) của \({x^k}\) với \(0 \le k \le 21\)

Lời giải chi tiết

a) Theo công thức nhị thức Newton, ta có:

\({\left( {\frac{x}{2} + \frac{1}{5}} \right)^{21}} = C_{21}^0{\left( {\frac{x}{2}} \right)^{12}} + C_{21}^1{\left( {\frac{x}{2}} \right)^{20}}{\left( {\frac{1}{5}} \right)^1} + ... + C_{21}^k{\left( {\frac{x}{2}} \right)^{21 - k}}{\left( {\frac{1}{5}} \right)^k} + ... + C_{21}^{21}{\left( {\frac{1}{5}} \right)^{21}}\)

Số hạng chứa \({x^{10}}\) ứng với \(21 - k = 10 \Rightarrow k = 11\). Do đó hệ số của \({x^{10}}\)  là

\(C_{21}^{11}{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{10}}{\left( {\frac{1}{5}} \right)^{11}}\)

b) Số hạng chứa \({x^k}\) trong khai triển của \({\left( {\frac{x}{2} + \frac{1}{5}} \right)^{21}}\) là \(C_{21}^{21 - k}{\left( {\frac{x}{2}} \right)^k}{\left( {\frac{1}{5}} \right)^{21 - k}}\)

Như vậy, hệ số \({a_k}\) của \({x^k}\) với \(0 \le k \le 21\) là \(C_{21}^{21 - k}{\left( {\frac{1}{2}} \right)^k}{\left( {\frac{1}{5}} \right)^{21 - k}}\)