Giải bài 57 trang 118 sách bài tập toán 11 - Cánh diều

Đề bài

Cho hình chóp \(S.ABCD\). Gọi \(M\) là trung điểm của cạnh \(SD\).

a) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SBD} \right)\).

b) Xác định giao điểm của đường thẳng \(BM\) với mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\).

c) Xác định giao tuyến của mặt phẳng \(\left( {MBC} \right)\) với các mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SAD} \right)\).

Lời giải chi tiết

a) Trên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\), gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\).

Do \(AC \subset \left( {SAC} \right)\), \(BD \subset \left( {SBD} \right)\) nên \(O\) là một điểm chung của hai mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SBD} \right)\).

Mặt khác, ta có \(S \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\). Do đó, giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SBD} \right)\) là đường thẳng \(SO\).

b) Nhận xét rằng \(BM \subset \left( {SBD} \right)\). Trên \(\left( {SBD} \right)\), gọi \(E\) là giao điểm của \(BM\) và \(SO\).

Do \(SO \subset \left( {SAC} \right)\), nên \(\left\{ E \right\} = BM \cap \left( {SAC} \right)\).

Vậy \(E\) là giao điểm của \(BM\) và \(\left( {SAC} \right)\).

c) Nhận xét rằng \(CE \subset \left( {SAC} \right)\). Trên \(\left( {SAC} \right)\), gọi \(F\) là giao điểm của \(CE\) và \(SA\).

Do \(E \in BM\), mà \(BM \subset \left( {MBC} \right)\) nên \(E \in \left( {MBC} \right)\). Suy ra \(CE \subset \left( {MBC} \right)\).

Xét hai mặt phẳng \(\left( {MBC} \right)\) và \(\left( {SAB} \right)\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}F \in CE \subset \left( {MBC} \right)\\F \in SA \subset \left( {SAB} \right)\end{array} \right. \Rightarrow F \in \left( {MBC} \right) \cap \left( {SAB} \right)\).

Mặt khác, vì \(B \in \left( {MBC} \right) \cap \left( {SAB} \right)\), nên giao tuyến của \(\left( {MBC} \right)\) và \(\left( {SAB} \right)\) là đường thẳng \(BF\).

Xét hai mặt phẳng \(\left( {MBC} \right)\) và \(\left( {SAD} \right)\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}F \in CE \subset \left( {MBC} \right)\\F \in SA \subset \left( {SAD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow F \in \left( {MBC} \right) \cap \left( {SAD} \right)\).

Mặt khác, ta lại có \(\left\{ \begin{array}{l}M \in \left( {MBC} \right)\\M \in SD \subset \left( {SAD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow M \in \left( {MBC} \right) \cap \left( {SAD} \right)\).

Như vậy, giao tuyến của \(\left( {MBC} \right)\) và \(\left( {SAD} \right)\) là đường thẳng \(MF\).