Giải bài 55 trang 57 sách bài tập toán 11 - Cánh diềuCho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có tổng \(n\) số hạng đầu là\({S_n} = \frac{{n\left( { - 1 - 5n} \right)}}{2}\) Đã có lời giải SGK Toán lớp 12 - Cánh diều (mới) Đầy đủ - Chi tiết - Chính xác Quảng cáo
Đề bài Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có tổng \(n\) số hạng đầu là\({S_n} = \frac{{n\left( { - 1 - 5n} \right)}}{2}\) với \(n \in {\mathbb{N}^*}\). a) Tính \({u_1}\), \({u_2}\) và \({u_3}\). b) Tìm công thức của số hạng tổng quát \({u_n}\). c) Chứng minh rằng dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là một cấp số cộng. Phương pháp giải - Xem chi tiết a) Ta có \({S_n}\) là tổng \(n\) số hạng đầu tiên của dãy. Với \(n = 1\) ta có \({S_1} = {u_1}\) Với \(n = 2\) ta có \({S_2} = {u_1} + {u_2}\) Với \(n = 3\) ta có \({S_3} = {u_1} + {u_2} + {u_3}\) Giải hệ phương trình, ta tính được \({u_1}\), \({u_2}\) và \({u_3}\). b) Sử dụng công thức \({u_n} = {S_n} - {S_{n - 1}}\) c) Để chứng minh \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số cộng, từ kết quả câu b, ta cần chứng minh \({u_n} - {u_{n - 1}}\) là hằng số. Lời giải chi tiết a, Ta có \({S_1} = {u_1} \Rightarrow {u_1} = \frac{{1\left( { - 1 - 5.1} \right)}}{2} = - 3\) \({S_2} = {u_1} + {u_2} = {S_1} + {u_2} \Rightarrow {u_2} = {S_2} - {S_1} = \frac{{2\left( { - 1 - 5.2} \right)}}{2} - \frac{{1\left( { - 1 - 5.1} \right)}}{2} = - 8\) \({S_3} = {u_1} + {u_2} + {u_3} = {S_2} + {u_3} \Rightarrow {u_3} = {S_3} - {S_2} = \frac{{3\left( { - 1 - 5.3} \right)}}{3} - \frac{{2\left( { - 1 - 5.2} \right)}}{2} = - 13\) Vậy ba số hạng đầu của dãy số là \( - 3\), \( - 8\), \( - 13\). b) Ta có \({S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_{n - 1}} + {u_n}\), \({S_{n - 1}} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_{n - 1}}\) \( \Rightarrow {u_n} = {S_n} - {S_{n - 1}} = \frac{{n\left( { - 1 - 5n} \right)}}{2} - \frac{{\left( {n - 1} \right)\left[ { - 1 - 5\left( {n - 1} \right)} \right]}}{2} = \frac{{n - 5{n^2}}}{2} - \frac{{\left( {n - 1} \right)\left( {4 - 5n} \right)}}{2}\) \( = \frac{{n - 5{n^2} - \left( { - 4 + 5{n^2} + 9n} \right)}}{2} = \frac{{4 - 10n}}{2} = 2 - 5n\) c) Xét \({u_n} - {u_{n - 1}} = \left( {2 - 5n} \right) - \left[ {2 - 5\left( {n - 1} \right)} \right] = \left( {2 - 5n} \right) - \left( {2 - 5n + 5} \right) = 5\). Do \({u_n} - {u_{n - 1}} = 5\) là hằng số, dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số cộng.
Quảng cáo
|