Giải bài 4.5 trang 47 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) không vuông, với trực tâm \(H\), nội tiếp đường tròn \((O).\) Kẻ đường kính \(AA'\) của đường tròn \((O).\)

a) Chứng minh rằng \(\overrightarrow {BH}  = \overrightarrow {A'C} .\)

b) Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC.\) Tìm mối quan hệ về phương, hướng và độ dài của hai vectơ \(\overrightarrow {AH} \) và \(\overrightarrow {OM} .\)

Lời giải chi tiết

a) Xét \((O)\) có: \(\widehat {ABA'} = \widehat {ACA'} = {90^ \circ }\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

\( \Rightarrow A'C \bot AC\) và \(A'B \bot AB\) (1)

Ta có: \(H\) là trực tâm của tam giác \(ABC.\)

\( \Rightarrow BH \bot AC\) và \(CH \bot AB\)  (2)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \) \(BH\)//\(A'C\) và \(A'B\)//\(CH.\)

Xét tứ giác \(ABHC\) có: \(BH\)//\(A'C\) và \(A'B\)//\(CH\)

\( \Rightarrow \) tứ giác \(ABHC\) là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)

\( \Rightarrow \overrightarrow {BH}  = \overrightarrow {A'C} \)

b) Ta có: tứ giác \(ABHC\) là hình bình hành

nên \(M\) là trung điểm của \(A'H\)

Xét \(\Delta AA'H\) có: \(M\) là trung điểm của \(A'H\)

\(O\) là trung điểm của \(AA'\)

\( \Rightarrow \) \(MO\) là đường trung bình của \(\Delta AA'H\)

\( \Rightarrow \) \(MO\)//\(AH\) và \(2MO = AH\)

\( \Rightarrow \) hai vectơ \(\overrightarrow {MO} ,\,\,\overrightarrow {AH} \) cùng hướng và \(2\overrightarrow {OM}  = \overrightarrow {AH} .\)