Giải bài 41 trang 19 sách bài tập toán 12 - Cánh diều

Đề bài

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của mỗi hàm số sau:

a) \(y =  - \frac{{{x^3}}}{3} - {x^2} + 3{\rm{x}} + 1\) trên khoảng \(\left( {0;3} \right)\);

b) \(y = {x^4} - 8{x^2} + 10\) trên khoảng \(\left( { - \sqrt 7 ;\sqrt 7 } \right)\);

c) \(y = \frac{{{x^2} - 1}}{{{x^2} + 1}}\);

d) \(y = x + \frac{4}{{x - 1}}\) trên khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\).

Lời giải chi tiết

a) Xét hàm số \(y =  - \frac{{{x^3}}}{3} - {x^2} + 3{\rm{x}} + 1\) trên khoảng \(\left( {0;3} \right)\).

Ta có: \({y^\prime } =  - {x^2} - 2{\rm{x}} + 3\)

Khi đó, trên khoảng \(\left( {0;3} \right)\), \(y' = 0\) khi \(x = 1\).

Bảng biến thiên của hàm số:

Căn cứ vào bảng biến thiên, ta có: \(\mathop {\max }\limits_{\left( {0;3} \right)} f\left( x \right) = \frac{8}{3}\) tại \(x = 1\), hàm số không có giá trị nhỏ nhất trên khoảng \(\left( {0;3} \right)\).

b) Xét hàm số \(y = {x^4} - 8{x^2} + 10\) trên khoảng \(\left( { - \sqrt 7 ;\sqrt 7 } \right)\).

Ta có: \({y^\prime } = 4{{\rm{x}}^3} - 16{\rm{x}}\)

Khi đó, trên khoảng \(\left( { - \sqrt 7 ;\sqrt 7 } \right)\), \(y' = 0\) khi \(x = 0,x =  - 2,x = 2\).

Bảng biến thiên của hàm số:

Căn cứ vào bảng biến thiên, ta có: \(\mathop {\max }\limits_{\left( { - \sqrt 7 ;\sqrt 7 } \right)} f\left( x \right) = 10\) tại \(x = 0\), \(\mathop {\min }\limits_{\left( { - \sqrt 7 ;\sqrt 7 } \right)} f\left( x \right) =  - 6\) tại \(x =  \pm 2\).

c) Xét hàm số \(y = \frac{{{x^2} - 1}}{{{x^2} + 1}}\).

Ta có: \(y' = \frac{{{{\left( {{x^2} - 1} \right)}^\prime }\left( {{x^2} + 1} \right) - \left( {{x^2} - 1} \right){{\left( {{x^2} + 1} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} = \frac{{2{\rm{x}}.\left( {{x^2} + 1} \right) - \left( {{x^2} - 1} \right).2{\rm{x}}}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} = \frac{{4{\rm{x}}}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}\)

Khi đó, \(y' = 0\) khi \(x = 0\).

Bảng biến thiên của hàm số:

Căn cứ vào bảng biến thiên, ta có: \(\mathop {\min }\limits_\mathbb{R} f\left( x \right) =  - 1\) tại \(x = 0\), hàm số không có giá trị lớn nhất trên khoảng \(\left( {0;3} \right)\).

d) Xét hàm số \(y = x + \frac{4}{{x - 1}}\) trên khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\).

Ta có: \({y^\prime } = 1 - \frac{4}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} - 2{\rm{x}} - 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\)

Khi đó, trên khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\), \(y' = 0\) khi \(x =  - 1\).

Bảng biến thiên của hàm số:

Căn cứ vào bảng biến thiên, ta có: \(\mathop {\max }\limits_{\left( { - \infty ;1} \right)} f\left( x \right) =  - 3\) tại \(x =  - 1\), hàm số không có giá trị nhỏ nhất trên khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\).