Giải bài 44 trang 20 sách bài tập toán 12 - Cánh diều

Đề bài

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mỗi hàm số sau:

a) \(y = {3^x} + {3^{ - x}}\) trên đoạn \(\left[ { - 1;2} \right]\);

b) \(y = x.{e^{ - 2{{\rm{x}}^2}}}\) trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\);

c) \(y = \ln \left( {{x^2} + 2{\rm{x}} + 3} \right)\) trên đoạn \(\left[ { - 2;3} \right]\);

d) \(y =  - 3{\rm{x}} + 5 + x\ln {\rm{x}}\) trên đoạn \(\left[ {1;3} \right]\);

Lời giải chi tiết

a) Ta có: \(y' = {3^x}.\ln 3 - {3^{ - x}}.\ln 3\)

Khi đó, trên đoạn \(\left[ { - 1;2} \right]\), \(y' = 0\) khi \(x = 0\).

\(y\left( { - 1} \right) = \frac{{10}}{3};y\left( 0 \right) = 2;y\left( 2 \right) = \frac{{82}}{9}\).

Vậy \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;2} \right]} y = \frac{{82}}{9}\) tại \(x = 2\), \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;2} \right]} y = 2\) tại \(x = 0\).

b) Ta có: \(y' = {\left( x \right)^\prime }.{e^{ - 2{{\rm{x}}^2}}} + x.{\left( {{e^{ - 2{{\rm{x}}^2}}}} \right)^\prime } = {e^{ - 2{{\rm{x}}^2}}} + x.\left( { - 4{\rm{x}}} \right).{e^{ - 2{{\rm{x}}^2}}} = {e^{ - 2{{\rm{x}}^2}}}\left( {1 - 4{{\rm{x}}^2}} \right)\)

Khi đó, trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\), \(y' = 0\) khi \(x = \frac{1}{2}\).

\(y\left( 0 \right) = 0;y\left( {\frac{1}{2}} \right) = \frac{1}{{2\sqrt e }};y\left( 1 \right) = \frac{1}{{{e^2}}}\).

Vậy \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;1} \right]} y = \frac{1}{{2\sqrt e }}\) tại \(x = \frac{1}{2}\), \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;1} \right]} y = 0\) tại \(x = 0\).

c) Ta có: \(y' = \frac{{{{\left( {{x^2} + 2{\rm{x}} + 3} \right)}^\prime }}}{{{x^2} + 2{\rm{x}} + 3}} = \frac{{2{\rm{x}} + 2}}{{{x^2} + 2{\rm{x}} + 3}}\)

Khi đó, trên đoạn \(\left[ { - 2;3} \right]\), \(y' = 0\) khi \(x =  - 1\).

\(y\left( { - 2} \right) = \ln 3;y\left( { - 1} \right) = \ln 2;y\left( 3 \right) = \ln 18\).

Vậy \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 2;3} \right]} y = \ln 18\) tại \(x = 3\), \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 2;3} \right]} y = \ln 2\) tại \(x =  - 1\).

d) Ta có: \(y =  - 3 + {\left( x \right)^\prime }\ln {\rm{x}} + x{\left( {\ln {\rm{x}}} \right)^\prime } =  - 3 + \ln {\rm{x}} + x.\frac{1}{x} = \ln {\rm{x}} - 2\)

Khi đó, trên đoạn \(\left[ {1;3} \right]\), \(y' = 0\) không có nghiệm.

\(y\left( 1 \right) = 2;y\left( 3 \right) = 3\ln 3 - 4\).

Vậy \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;3} \right]} y = 2\) tại \(x = 1\), \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {1;3} \right]} y = 3\ln 3 - 4\) tại \(x = 3\).