Trang chủ

Giải bài 4 trang 36 Chuyên đề học tập Toán 12 - Cánh diều

Một con cá hồi bơi ngược dòng để vượt một khoảng cách là 300 km. Vận tốc dòng nước là 6 km/h. Nếu vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên là \(v\) (km/h) thì năng lượng tiêu hao của cá trong t giờ được cho bởi công thức \(E(v) = c{v^3}t\) Trong đó \(c\) là một hằng số, \(E\) được tính bằng jun. Tìm vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên để năng lượng tiêu hao là ít nhất.

Quảng cáo

Đề bài

Một con cá hồi bơi ngược dòng để vượt một khoảng cách là 300 km. Vận tốc dòng nước là 6 km/h. Nếu vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên là \(v\) (km/h) thì năng lượng tiêu hao của cá trong t giờ được cho bởi công thức

\(E(v) = c{v^3}t\)

Trong đó \(c\) là một hằng số, \(E\) được tính bằng jun. Tìm vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên để năng lượng tiêu hao là ít nhất.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+) Biểu diễn vận tốc của cá hồi khi bơi ngược dòng là \(v - 6\) (km/h)

+) Từ đó ta tìm thời gian cá hồi bơi ngược dòng trong quãng đường 300 km là \(\frac{{300}}{{v - 6}}\)(giờ)

+) Từ đó thay thời gian bơi vào biểu thức tính năng lượng tiêu hao\(E(v) = c{v^3}t\) ta sẽ được một hàm số chỉ có ẩn \(v\)

+) Xét hàm số ấn \(v\), yêu cầu bài toán tương đương với việc tìm giá  trị nhỏ nhất của hàm số này.

Lời giải chi tiết

Vận tốc của con cá hồi khi bơi ngược dòng là \(v - 6\) (km/h).

Thời gian để con cá hồi đó bơi ngược dòng 300 km là \(\frac{{300}}{{v - 6}}\) (giờ).

Năng lượng tiêu hao của cá để vượt quãng đường 300 km là

\(E(v) = c{v^3}.\frac{{300}}{{v - 6}} = 300c.\frac{{{v^3}}}{{v - 6}}\) (jun)

Xét hàm số \(E(v) = 300c.\frac{{{v^3}}}{{v - 6}},\) \(v > 6.\)

Ta có \(E'(v) = 300c.\frac{{3{v^2}(v - 6) - {v^3}}}{{{{(v - 6)}^2}}} = 300c.\frac{{2{v^3} - 18{v^2}}}{{{{(v - 6)}^2}}}.\)

Do đó \(E'(v) = 0 \Leftrightarrow v = 0\)(không thoả mãn) hoặc \(v = 9\) (thoả mãn).

Ta có bảng biến thiên:

Căn cứ vào bảng biến thiên, ta có \(\mathop {\min }\limits_{(6; + \infty )} E(v) = E(9) = 72900\) tại \(v = 9.\)

Vậy vận tốc bơi của cá hồi khi nước đứng yên để năng lượng tiêu hao là ít nhất là 9 km/h.

  • Giải bài 5 trang 36 Chuyên đề học tập Toán 12 - Cánh diều

    Một nhà máy sản xuất xe đạp cho thị trường châu Âu theo đơn giá 120 euro (€). Chi phí mỗi ngày của nhà máy được cho bởi hàm số (K(x) = 0,02{x^3} - 3{x^2} + 172x + 2400.) trong đó (x) là số lượng xe đạp sản xuất được trong ngày hôm đó. Mỗi ngày có thể sản xuất tối đa 130 xe đạp. Giả sử số xe đạp sản xuất được trong mỗi ngày đề được bán hết vào cuối ngày đó. Gọi (G(x)) là hàm biểu diễn lợi nhuận hằng ngày của nhà máy. a) Vẽ đồ thị hàm số (G(x)) trên đoạn (left[ {0;130} right].) b

  • Giải bài 6 trang 36 Chuyên đề học tập Toán 12 - Cánh diều

    Một nhà máy sản xuất một loại sản phẩm cho thị trường Mỹ. Biết rằng: - Chi phí cho các công việc hành chính chung của nhà máy là 90 đô la Mỹ (USD)/1 ngày. - Chi phí sản xuất là 0,09 USD/1 sản phẩm. - Các loại chi phí khác trong mỗi một ngày là \(\frac{{{x^2}}}{{10000}}\) (USD), trong đó \(x\) là số sản phẩm nhà máy sản xuất được trong ngày hôm đó. a) Tính tổng chi phí \(U(x)\) của mỗi một sản phẩm. b) Tìm \(x\) sao cho \(U(x)\) nhận giá trị nhỏ nhất.

  • Giải bài 7 trang 37 Chuyên đề học tập Toán 12 - Cánh diều

    Trong một phản ứng hoá học, lượng khí \({\rm{C}}{{\rm{O}}_{\rm{2}}}\) thoát ra \(V(t)\) được tính theo thời gian \(t\) bằng công thức: \(V(t) = \frac{{0,2{k_1}}}{{{k_1} - {k_2}}}\left( {{e^{ - {k_2}t}} - {e^{ - {k_1}t}}} \right),\) Trong đó \(V(t)\) được tính theo đơn vị mililít và \(t\) được tính theo đơn vị giây; \({k_1},{k_2}\) là các hằng số sao cho \({k_1} > {k_2} > 0\). Lượng khí \({\rm{C}}{{\rm{O}}_{\rm{2}}}\) thoát ra trong phản ứng đó có giá trị lớn nhất là bao nhiêu?

  • Giải bài 8 trang 37 Chuyên đề học tập Toán 12 - Cánh diều

    Một doanh nghiệp dự định sản xuất các hộp dựng nước giải khát có dạng hình trụ với dung tích là 500 \({\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\) (Hình 5). Hãy tính bán kính đáy và chiều cao của chiếc hộp để diện tích vỏ hộp là nhỏ nhất (Hình 6).

  • Giải bài 9 trang 37 Chuyên đề học tập Toán 12 - Cánh diều

    Một lò xo được làm từ một sợi dây kim loại. Gọi (d) là đường kính (trung bình) của sợ dây kim loại và (D) là đường kính (trung bình) của lò xo (Hình 7). Ki lò xo đứng lên mặt đất thì nó nén lại bởi trọng lượng (P) của lò xo, vật chất trong dây kim loại chịu ứng suất lớn nhất (S) tại các điểm trên bè mặt sợi dây mà khoảng cách từ những điểm đó đến đường tâm của lò so là nhỏ nhất. Biết rằng (S) được cho bởi công thức: (S = frac{{8PD}}{{pi {d^3}}}left[ {frac{{frac{{4D}}{d} - 1}}{{

Quảng cáo
Báo lỗi - Góp ý

Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
close