Giải bài 36 trang 60 sách bài tập toán 12 - Cánh diều

Đề bài

Tính góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) trong mỗi trường hợp sau (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ nếu cần):

a) \({\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 2{t_1}\\y =  - 2 + {t_1}\\z = 0\end{array} \right.\) và \({\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 7 + {t_2}\\y =  - 3 - {t_2}\\z = 2{t_2}\end{array} \right.\) (\({t_1},{t_2}\) là tham số);

b) \({\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + t\\y = 5 - 2t\\z = 7 - 2t\end{array} \right.\) (với \(t\) là tham số) và \({\Delta _2}:\frac{{x + 4}}{2} = \frac{{y + 6}}{2} = \frac{{z - 10}}{{ - 1}}\);

c) \({\Delta _1}:\frac{{x + 1}}{{ - 1}} = \frac{{y + 4}}{2} = \frac{{z - 5}}{{ - 3}}\) và \({\Delta _2}:\frac{x}{2} = \frac{{y - 3}}{{ - 1}} = \frac{{z + 2}}{{ - 1}}\).

Lời giải chi tiết

a) Đường thẳng \({\Delta _1}\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {2;1;0} \right)\).

Đường thẳng \({\Delta _2}\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {1; - 1;2} \right)\).

Côsin của góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) bằng:

\(\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {2.1 + 1.\left( { - 1} \right) + 0.2} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {0^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} }} = \frac{{\sqrt {30} }}{{30}}\).

Vậy \(\left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) \approx {79^ \circ }\).

b) Đường thẳng \({\Delta _1}\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {1; - 2; - 2} \right)\).

Đường thẳng \({\Delta _2}\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {2;2; - 1} \right)\).

Côsin của góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) bằng:

\(\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {1.2 + \left( { - 2} \right).2 + \left( { - 2} \right).\left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} .\sqrt {{2^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = 0\).

Vậy \(\left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = {90^ \circ }\).

c) Đường thẳng \({\Delta _1}\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( { - 1;2; - 3} \right)\).

Đường thẳng \({\Delta _2}\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {2; - 1; - 1} \right)\).

Côsin của góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) bằng:

\(\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| { - 1.2 + 2.\left( { - 1} \right) - 3.\left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} .\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt {21} }}{{42}}\).

Vậy \(\left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) \approx {84^ \circ }\).