Giải bài 32 trang 102 sách bài tập toán 8 - Cánh diều

Đề bài

Cho hình chữ nhật \(ABCD\) có hai cạnh kề không bằng nhau. Tia phân giác của các góc \(A\) và \(B\) cắt nhau tại \(E\). Tia phân giác của các góc \(C\) và \(D\) cắt nhau tại \(F\). Gọi \(G\) là giao điểm của \(AE\) và \(DF\), \(H\) là giao điểm của \(BE\) và \(CF\). Chứng minh:

a)     \(GH//CD\)

b)    Tứ giác \(GFHE\) là hình vuông

Lời giải chi tiết

a)     Do \(ABCD\) là hình chữ nhật nên \(\widehat {DAB} = \widehat {ABC} = \widehat {BCD} = \widehat {CDA} = 90^\circ \)

Mà \(AE,BE,CF,DF\) lần lượt là các tia phân giác của các góc \(DAB,ABC,BCD,CDA\) suy ra \(\widehat {DAE} = \widehat {EAB} = \widehat {ABE} = \widehat {EBC} = \widehat {BCF} = \widehat {FCD} = \widehat {CDF} = \widehat {FDA} = 45^\circ \)

Do đó, các tam giác \(EAB,FCD,GAD,HBC\) đều là tam giác vuông cân.

\(\Delta GAD = \Delta HBC\) (g.c.g). Suy ra \(GD = HC\). Mà \(FD = FC\), suy ra \(FG = FH\).

Do đó, tam giác \(FGH\) vuông cân tại \(F\). Suy ra \(\widehat {FGH} = 45^\circ \).

Ta có: \(\widehat {FGH} = \widehat {CDF} = 45^\circ \) và \(\widehat {FGH},\widehat {CDF}\) nằm ở vị trí đồng vị nên \(GH//CD\).

b)    \(\widehat {EGF} = \widehat {AGD} = 90^\circ \) (hai góc đối đỉnh)

Tứ giác \(GFHE\) là hình chữ nhật.

Hình chữ nhật \(GFHE\) có \(FG = FH\) nên \(GFHE\) là hình vuông.