Giải bài 3 trang 68 sách bài tập toán 8 - Chân trời sáng tạo tập 2

Đề bài

Quan sát Hình 7, biết tứ giác ABHD là hình chữ nhật. Chứng minh rằng:

a) $B{{D}^{2}}=AB.DC$.

b) $A{{D}^{2}}=BM.BC$.

Lời giải chi tiết

a) Vì ABHD là hình chữ nhật nên AB//DH, do đó $\widehat{ABD}=\widehat{BDH}$ (hai góc so le trong)

Tam giác ABD và tam giác BDC có: $\widehat{A}=\widehat{DBC}={{90}^{0}},\widehat{ABD}=\widehat{BDH}\left( cmt \right)$

Do đó, $\Delta ABD\backsim \Delta BDC\left( g.g \right)$, do đó $\frac{AB}{BD}=\frac{BD}{DC}$. Vậy $B{{D}^{2}}=AB.DC$

b) Tam giác BMH và tam giác BHC có: $\widehat{HMB}=\widehat{BHC}={{90}^{0}},\widehat{HBM}\ chung$

Do đó, $\Delta BHM\backsim \Delta BCH\left( g.g \right)$, do đó $\frac{BM}{BH}=\frac{BH}{BC}$, hay $B{{H}^{2}}=BM.BC$

Vì ABHD là hình chữ nhật nên $AD=BH$. Do đó, $A{{D}^{2}}=BM.BC$