Giải bài 3 trang 19 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1

Rút gọn các biểu thức sau: a) \(\sin x{\cos ^5}x - \cos x{\sin ^5}x\); b) \(\frac{{\sin 3x\cos 2x + \sin x\cos 6x}}{{\sin 4x}}\);

Quảng cáo

Đề bài

Rút gọn các biểu thức sau:

a) \(\sin x{\cos ^5}x - \cos x{\sin ^5}x\);

b) \(\frac{{\sin 3x\cos 2x + \sin x\cos 6x}}{{\sin 4x}}\);

c) \(\frac{{\cos x - \cos 2x + \cos 3x}}{{\sin x - \sin 2x + \sin 3x}}\);

d) \(\frac{{2\sin \left( {x + y} \right)}}{{\cos \left( {x + y} \right) + \cos \left( {x - y} \right)}} - \tan y\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về các công thức lượng giác để rút gọn:

a) \(\sin 2\alpha  = 2\sin \alpha \cos \alpha \), \({\cos ^2}\alpha  - {\sin ^2}\alpha  = \cos 2\alpha \)

b) \(\sin \alpha \cos \beta  = \frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {\alpha  - \beta } \right) + \sin \left( {\alpha  + \beta } \right)} \right]\)

c) \(\cos \alpha  + \cos \beta  = 2\cos \frac{{\alpha  + \beta }}{2}\cos \frac{{\alpha  - \beta }}{2}\), \(\sin \alpha  + \sin \beta  = 2\sin \frac{{\alpha  + \beta }}{2}\cos \frac{{\alpha  - \beta }}{2}\)

d) \(\sin \left( {\alpha  + \beta } \right) = \sin \alpha \cos \beta  + \cos \alpha \sin \beta \), \(\cos \alpha  + \cos \beta  = 2\cos \frac{{\alpha  + \beta }}{2}\cos \frac{{\alpha  - \beta }}{2}\)

Lời giải chi tiết

a) \(\sin x{\cos ^5}x - \cos x{\sin ^5}x \) \( = \sin x\cos x\left( {{{\cos }^4}x - {{\sin }^4}x} \right)\)

\( \) \( = \sin x\cos x\left( {{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x} \right)\left( {{{\cos }^2}x + {{\sin }^2}x} \right) \) \( = \frac{1}{2}\sin 2x\cos 2x \) \( = \frac{1}{4}\sin 4x\)

b) \(\frac{{\sin 3x\cos 2x + \sin x\cos 6x}}{{\sin 4x}} \) \( = \frac{{\frac{1}{2}\left( {\sin 5x + \sin x} \right) + \frac{1}{2}\left( {\sin 7x - \sin 5x} \right)}}{{\sin 4x}}\)

\( \) \( = \frac{{\sin x + \sin 7x}}{{2\sin 4x}} \) \( = \frac{{2\sin 4x\cos 3x}}{{2\sin 4x}} \) \( = \cos 3x\)

c) \(\frac{{\cos x - \cos 2x + \cos 3x}}{{\sin x - \sin 2x + \sin 3x}} \) \( = \frac{{\left( {\cos x + \cos 3x} \right) - \cos 2x}}{{\left( {\sin x + \sin 3x} \right) - \sin 2x}} \) \( = \frac{{2\cos 2x\cos x - \cos 2x}}{{2\sin 2x\cos x - \sin 2x}}\)

\( \) \( = \frac{{\cos 2x\left( {2\cos x - 1} \right)}}{{\sin 2x\left( {2\cos x - 1} \right)}} \) \( = \cot 2x\)

d) \(\frac{{2\sin \left( {x + y} \right)}}{{\cos \left( {x + y} \right) + \cos \left( {x - y} \right)}} - \tan y \) \( = \frac{{2\left( {\sin x\cos y + \cos x\sin y} \right)}}{{2\cos x\cos y}} - \frac{{\sin y}}{{\cos y}}\)

\( \) \( = \frac{{2\sin x\cos y + 2\cos x\sin y - 2\cos x\sin y}}{{2\cos x\cos y}} \) \( = \frac{{2\sin x\cos y}}{{2\cos x\cos y}} \) \( = \tan x\)

Quảng cáo

Tham Gia Group Dành Cho 2K8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

close