Giải bài 28 trang 70 sách bài tập toán 8 – Cánh diều

Đề bài

Quan sát Hình 28 biết \(\widehat{AMN}=\widehat{ABC},\widehat{BAC}=\widehat{BML}\).

a)      Chứng minh: \(\Delta AMN\backsim \Delta MBL\).

b)     Xác định vị trí của điểm \(M\) trên cạnh \(AB\) để chu vi tam giác \(AMN\) bằng \(\frac{2}{3}\) chu vi tam giác \(ABC\).

 

Lời giải chi tiết

a)      Vì \(\widehat{AMN}=\widehat{ABC}\) nên \(MN//BC\). Do đó \(\Delta AMN\backsim \Delta ABC\) (1)

Vì \(\widehat{BAC}=\widehat{BML}\) nên \(ML//AC\). Do đó \(\Delta MBL\backsim \Delta ABC\) (2)

Từ (1) và (2) ta có \(\Delta AMN\backsim \Delta MBL\),

b)     Giả sử \(\Delta AMN\backsim \Delta ABC\) với tỉ số đồng dạng \(k\), ta có:

\(\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}=k\).

→    \(\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}=\frac{AM+AN+MN}{AB+AC+BC}=k\) hay (Chu vi tam giác \(AMN\)) : (Chu vi tam giác \(ABC\)) \(=k\).

Do đó để chu vi tam giác \(AMN\) bằng \(\frac{2}{3}\) chu vi tam giác \(ABC\) thì \(AM=\frac{2}{3}AB\).

Ngược lại, dễ thấy nếu \(AM=\frac{2}{3}AB\) thì chu vi tam giác \(AMN\) bằng \(\frac{2}{3}\) tam giác \(ABC\).

Vậy vị trí của điểm \(M\) trên cạnh \(AB\) để chu vi tam giác \(AMN\) bằng chu vi tam giác \(ABC\) là \(AM=\frac{2}{3}AB\).