Giải bài 2.44 trang 42 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Chứng minh rằng:

a) Nếu \({a_1},{a_2},{a_3}...\)và \({b_1},{b_2},{b_3}...\) là hai cấp số cộng thì \({a_1} + {b_1},{a_2} + {b_2},{a_3} + {b_3}...\) cũng là cấp số cộng.

b) Nếu \({a_1},{a_2},{a_3}...\)và \({b_1},{b_2},{b_3}...\) là hai cấp số cộng thì \({a_1}{b_1},\,\,{a_2}{b_2},\,\,{a_3}{b_3}...\) cũng là cấp số nhân.

Lời giải chi tiết

a) Dãy số \({a_n}\)là cấp số cộng với công sai \({d_1}\) suy ra\({a_{n + 1}} - {a_n} = {d_1}\).

Dãy số \({b_n}\)là cấp số cộng với công sai \({d_2}\) suy ra\({b_{n + 1}} - {b_n} = {d_2}\).

Nên \(({a_{n + 1}} + {b_{n + 1}}) - ({a_n} + {b_n}) = {d_1} + {d_2}\). Vậy đó là cấp số cộng với công sai \({d_1} + {d_2}\).

b) Dãy số \({a_n}\)là cấp số nhân với công bội \({q_1}\) suy ra\(\frac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}} = {q_1}\).

Dãy số \({b_n}\)là cấp số nhân với công bội \({q_2}\) suy ra \(\frac{{{b_{n + 1}}}}{{{b_n}}} = {q_2}\).

Vậy nên \(\frac{{{a_{n + 1}}.{b_{n + 1}}}}{{{a_n}.{b_n}}} = \frac{{{q_1}}}{{{q_2}}}\). Vậy đó là cấp số nhân với công bội \(\frac{{{q_1}}}{{{q_2}}}\).