Giải bài 23 trang 50 sách bài tập toán 11 - Cánh diều

Đề bài

Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\), biết:

a) \(\left\{ \begin{array}{l}{u_4} = 10\\{u_7} = 19\end{array} \right.\)                     

b) \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} - {u_3} + {u_5} = 10\\{u_1} + {u_6} = 17\end{array} \right.\)                            

c) \(\left\{ \begin{array}{l}{S_{10}} = 165\\{S_{20}} = 630\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết

a) Ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}{u_4} = 10\\{u_7} = 19\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 3d = 10\\{u_1} + 6d = 19\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3d = 9\\{u_1} + 3d = 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}d = 3\\{u_1} + 3.3 = 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}d = 3\\{u_1} = 1\end{array} \right.\)

Vậy số hạng đầu và công sai của cấp số cộng lần lượt là 1 và 3.

b) Ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} - {u_3} + {u_5} = 10\\{u_1} + {u_6} = 17\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} - \left( {{u_1} + 2d} \right) + \left( {{u_1} + 4d} \right) = 10\\{u_1} + \left( {{u_1} + 5d} \right) = 17\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 2d = 10\\2{u_1} + 5d = 17\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{u_1} + 4d = 20\\2{u_1} + 5d = 17\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 2d = 10\\d =  - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 16\\d =  - 3\end{array} \right.\)

Vậy số hạng đầu và công sai của cấp số cộng lần lượt là 16 và \( - 3\).

c) Ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}{S_{10}} = 165\\{S_{20}} = 630\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{\left( {2{u_1} + 9d} \right).10}}{2} = 165\\\frac{{\left( {2{u_1} + 19d} \right).20}}{2} = 630\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{u_1} + 9d = 33\\2{u_1} + 19d = 63\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}10d = 30\\2{u_1} + 19d = 63\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}d = 3\\2{u_1} + 19d = 63\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}d = 3\\2{u_1} = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}d = 3\\{u_1} = 3\end{array} \right.\)

Vậy số hạng đầu và công sai của cấp số cộng lần lượt là 3 và 3.