Bài 2.16 trang 60 SBT hình học 12

Đề bài

Cho tứ diện SABC có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và có SA = a, AB = b , AC = c . Xác định tâm và bán kính hình cầu ngoại tiếp tứ diện trong các trường hợp sau:

a) $\widehat {BAC} = {90^0}$

b) $\widehat {BAC} = {60^0}$ và $b = c$

c) $\widehat {BAC} = {120^0}$ và $b = c$

Lời giải chi tiết

$\widehat {BAC} = {90^0}$. Gọi M là trung điểm của BC, ta có MA = MB = MC. Dựng đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại M. Mặt phẳng trung trực của đoạn SA cắt d tại O.

Ta có   OS = OA = OB = OC

Và  ${r^2} = O{A^2} = O{M^2} + M{A^2} = {({a \over 2})^2} + {({b \over 2})^2} + {({c \over 2})^2}$

Do đó ta có hình cầu tâm O ngoại tiếp tứ diện và có $r = {1 \over 2}\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}}$

b) $\widehat {BAC} = {60^0}$  và b = c, khi đó ABC là tam giác đều cạnh b. Gọi I là trọng tâm của tam giác đều nên I đồng thời cũng là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC. Dựng d là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại I. Mặt phẳng trung trực của đoạn SA cắt d tại O.

Ta có  OS = OA = OB = OC và r² = OA² = OI² + IA²

Do đó ta có hình cầu tâm O ngoại tiếp tứ diện và có

${r^2} = {({a \over 2})^2} + {({2 \over 3}b{{\sqrt 3 } \over 2})^2} = {{{a^2}} \over 4} + {{{b^2}} \over 3}$ . Vậy  $r = \sqrt {{{{a^2}} \over 4} + {{{b^2}} \over 3}}$

c) $\widehat {BAC} = {120^0}$  và b = c, khi đó ABC là một tam giác cân có góc A ở đỉnh bằng 120⁰ và cạnh bên bằng b. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Kéo dài AM một đoạn MK = AM, ta có KA = KB = KC = AB = AC = b.

Dựng đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại K. Mặt phẳng trung trực của đoạn SA cắt d tại O.

Ta có: OS = OA = OB = OC và ${r^2} = O{A^2} = O{K^2} + K{A^2} = {({a \over 2})^2} + {b^2}$

Do đó ta có mặt cầu tâm O ngoại tiếp tứ diện và có bán kính $r = \sqrt {{{{a^2}} \over 4} + {b^2}}$

Loigiaihay.com