Giải bài 2 trang 9 sách bài tập toán 11 - Cánh diều

Đề bài

Xác định các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số liệu ghép nhóm như ở Bảng 7 (làm tròn các kết quả đến hàng phần mười).

Lời giải chi tiết

- Chiều cao trung bình của 40 bạn lớp 11A là:

\(\bar x = \frac{{157,5.5 + 162,5.12 + 167,5.16 + 172,5.7}}{{40}} \approx 165,6\left( {{\rm{cm}}} \right).\)

- Ta có: \(\frac{n}{2} = \frac{{40}}{2} = 20\) mà \(17 < 20 < 33.\) Suy ra nhóm 3 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 20.

Xét nhóm 3 là nhóm [165;170) có \(r = 165,d = 5,{n_3} = 16\) và nhóm 2 là nhóm [160;165) có \(c{f_2} = 17.\)

Trung vị của mẫu số liệu là:

\({M_e} = r + \left( {\frac{{\frac{n}{2} - c{f_{k - 1}}}}{{{n_k}}}} \right).d = 165 + \left( {\frac{{\frac{{40}}{2} - 17}}{{16}}} \right).5 \approx 165,9\left( {{\rm{cm}}} \right).\)

Tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu là: \({Q_2} = {M_e} = 165,9\left( {{\rm{cm}}} \right).\)

- Ta có: \(\frac{n}{4} = \frac{{40}}{4} = 10\) mà \(5 < 10 < 17.\) Suy ra nhóm 2 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 10.

Xét nhóm 2 là nhóm [160;165) có \(s = 160,{\rm{ }}h = 5,{\rm{ }}{n_2} = 12\) và nhóm 1 là nhóm [155;160) có \(c{f_1} = 5.\)

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là:

\({Q_1} = s + \left( {\frac{{\frac{n}{4} - c{f_{p - 1}}}}{{{n_p}}}} \right).h = 160 + \left( {\frac{{\frac{{40}}{4} - 5}}{{12}}} \right).5 \approx 162,1\left( {{\rm{cm}}} \right).\)

- Ta có: \(\frac{{3n}}{4} = \frac{{3.40}}{4} = 30\) mà \(17 < 30 < 33\) Suy ra nhóm 3 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 30.

Xét nhóm 3 là nhóm [165;170) có \(t = 165,{\rm{ }}l = 5,{\rm{ }}{n_3} = 16\) và nhóm 2 là nhóm [160;165) có \(c{f_2} = 17.\)

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là:

\({Q_3} = t + \left( {\frac{{\frac{{3n}}{4} - c{f_{q - 1}}}}{{{n_q}}}} \right).l = 165 + \left( {\frac{{\frac{{3.40}}{4} - 17}}{{16}}} \right).5 \approx 169,1\left( {{\rm{cm}}} \right).\)

- Ta thấy: Nhóm 3 ứng với nửa khoảng [165;170) là nhóm có tần số lớn nhất với \(u = 165,{\rm{ }}g = 5,{\rm{ }}{n_3} = 16,{\rm{ }}{n_2} = 12,{\rm{ }}{n_4} = 7.\)

Mốt của mẫu số liệu là:

\({M_0} = u + \left( {\frac{{{n_i} - {n_{i - 1}}}}{{2{n_i} - {n_{i - 1}} - {n_{i + 1}}}}} \right).g = 165 + \left( {\frac{{16 - 12}}{{2.16 - 12 - 7}}} \right).5 \approx 166,5\left( {{\rm{cm}}} \right).\)