Giải bài 11 trang 85 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1

Đề bài

Tìm giá trị của các tham số a và b, biết rằng:

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{ax + b}}{{x - 2}} = 5\);

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{a\sqrt x  + b}}{{x - 1}} = 3\).

Lời giải chi tiết

a) Do \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {x - 2} \right) = 0\) nên để tồn tại giới hạn hữu hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{ax + b}}{{x - 2}} = 5\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {ax + b} \right) = 0\) hay \(2a + b = 0 \Rightarrow b =  - 2a\)

Khi đó, \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{ax + b}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{ax - 2a}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{a\left( {x - 2} \right)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} a = a\)

Mà \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{ax + b}}{{x - 2}} = 5 \Rightarrow a = 5\). Suy ra: \(b = 2.\left( { - 5} \right) =  - 10\).

b) Do \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {x - 1} \right) = 0\) nên để tồn tại giới hạn hữu hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{a\sqrt x  + b}}{{x - 1}} = 3\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {a\sqrt x  + b} \right) = 0\) hay \(a + b = 0 \Rightarrow b =  - a\)

Khi đó, \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{a\sqrt x  + b}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{a\sqrt x  - a}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{a\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{a}{{\sqrt x  + 1}} = \frac{a}{2}\)

Mà \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{a\sqrt x  + b}}{{x - 1}} = 3 \Rightarrow \frac{a}{2} = 3 \Rightarrow a = 6\). Suy ra: \(b =  - 6\)