Giải Bài 103 trang 98 sách bài tập toán 7 - Cánh diềuCho tam giác ABC có ba góc nhọn, AB < AC < BC. Các tia phân giác của góc A và góc C cắt nhau tại O. Gọi F là hình chiếu của O trên BC; H là hình chiếu của O trên AC. Lấy điểm I trên đoạn FC sao cho FI = AH. Chứng minh: Quảng cáo
Đề bài Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, AB < AC < BC. Các tia phân giác của góc A và góc C cắt nhau tại O. Gọi F là hình chiếu của O trên BC; H là hình chiếu của O trên AC. Lấy điểm I trên đoạn FC sao cho FI = AH. Chứng minh: a) OC vuông góc với FH; b) Tam giác OAI là tam giác cân; c) Tam giác BAI là tam giác cân. Phương pháp giải - Xem chi tiết - Chứng minh: CO là đường trung trực của đoạn thẳng FH nên OC vuông góc với FH. - Chứng minh: ∆OHA = ∆OFI suy ra OA = OI nên tam giác OAI cân tại O. - Chứng minh: AB = BI nên tam giác BAI cân tại B. Lời giải chi tiết
a) Xét DOHC và DOFC có: \(\widehat {OHC} = \widehat {OFC}\left( { = 90^\circ } \right)\) OC là cạnh chung, \(\widehat {OCH} = \widehat {OCF}\) (do CO là tia phân giác của góc ACB) Do đó ∆OHC = ∆OFC (cạnh huyền – góc nhọn) suy ra CH = CF, OH = OF (các cặp cạnh tương ứng). Do đó C và O cùng nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng FH. Hay CO là đường trung trực của đoạn thẳng FH. Do đó OC ⊥ FH. Vậy OC ⊥ FH. b) Xét ∆OHA và ∆OFI có: \(\widehat {OHA} = \widehat {OFI}\left( { = 90^\circ } \right)\) OH = OF (chứng minh câu a), AH = IF (giả thiết), Do đó ∆OHA = ∆OFI (hai cạnh góc vuông) Suy ra OA = OI (hai cạnh tương ứng) Tam giác OAI có OA = OI nên ∆OAI cân tại O. Vậy tam giác OAI là tam giác cân tại O. c) • Kẻ OK ⊥ AB (K ∈ AB). Xét ∆AOH và ∆AOK có \(\widehat {OHA} = \widehat {OK{\rm{A}}}\left( { = 90^\circ } \right)\) OA là cạnh chung, \(\widehat {HAO} = \widehat {KAO}\) (do AO là tia phân giác của góc BAC) Do đó ∆AOH = ∆AOK (cạnh huyền – góc nhọn) Suy ra AH = AK (hai cạnh tương ứng). •Xét tam giác ABC có O là giao điểm của hai tia phân giác của góc ACB và BAC. Suy ra BO là tia phân giác của góc ABC. Xét ∆BOK và ∆BOF có \(\widehat {OKB} = \widehat {OFB}\left( { = 90^\circ } \right)\) OB là cạnh chung, \(\widehat {KBO} = \widehat {FBO}\) (do BO là tia phân giác của góc ABC) Do đó ∆BOK = ∆BOF (cạnh huyền – góc nhọn). Suy ra BK = BF (hai cạnh tương ứng) •Ta có AB = AK + KB, BI = BF + FI Mà BK = BF, AK = IF (=AH) Từ đó suy ra AB = BI nên tam giác BAI cân tại B. Vậy tam giác BAI cân tại B.
Quảng cáo
|