Giải bài 10 trang 76 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1

Tam giác \(O{A_1}{A_2}\) vuông cân tại \({A_2}\) có cạnh huyền \(O{A_1}\) bằng a. Bên ngoài tam giác \(O{A_1}{A_2}\), vẽ tam giác \(O{A_2}{A_3}\) vuông cân tại \({A_3}\). Tiếp theo, bên ngoài tam giác \(O{A_2}{A_3}\), vẽ tam giác \(O{A_3}{A_4}\) vuông cân tại \({A_4}\). Cứ tiếp tục quá trình như trên, ta vẽ được một dãy các hình tam giác vuông cân (Hình 2). Tính độ dài đường gấp khúc \({A_1}{A_2}{A_3}{A_4}...\)

Cho tam giác OMN vuông cân tại O, \(OM = ON = 1\). Trong tam giác OMN, vẽ hình vuông \(O{A_1}{B_1}{C_1}\) sao cho các đỉnh \({A_1},{B_1},{C_1}\) lần lượt nằm trên các cạnh OM, MN, ON. Trong tam giác \({A_1}M{B_1}\), vẽ hình vuông \({A_1}{A_2}{B_2}{C_2}\) sao cho các đỉnh \({A_2},{B_2},{C_2}\) lần lượt nằm trên các cạnh \({A_1}M,M{B_1},{A_1}{B_1}\). Tiếp tục quá trình đó, ta được một dãy các hình vuông (Hình 3). Tính tổng diện tích các hình vuông này.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đường thẳng \(d:x + y = 2\) cắt trục hoành tại điểm A và cắt đường thẳng \({d_n}:y = \frac{{2n + 1}}{n}x\) tại điểm \({P_n}\left( {n \in \mathbb{N}*} \right)\). Kí hiệu \({S_n}\) là diện tích của tam giác \(OA{P_n}\). Tính \(\lim {S_n}\).

Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau thành phân số: a) \(0,\left( 7 \right) = 0,777...\); b) \(1,\left( {45} \right) = 1,454545...\)

Tính tổng của các cấp số nhân lùi vô hạn: a) \(1 - \frac{1}{5} + \frac{1}{{{5^2}}} - \frac{1}{{{5^3}}} + ... + {\left( { - \frac{1}{5}} \right)^n} + ...\) b) \(2 + \frac{{{2^2}}}{3} + \frac{{{2^3}}}{{{3^2}}} + ... + \frac{{{2^n}}}{{{3^{n - 1}}}} + ...\)