Giải bài 1 trang 71 sách bài tập toán 8 - Chân trời sáng tạo

Đề bài

Cho tam giác ABC vuông tại A \(\left( {AB < AC} \right)\). Gọi M là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho \(MD = MA\).

a) Chứng minh tứ giác ABDC là hình chữ nhật.

b) Gọi E là điểm đối xứng của A qua B. Chứng minh tứ giác BEDC là hình bình hành.

c) EM cắt BD tại K. Chứng minh \(EK = 2KM\).

Lời giải chi tiết

a) Vì tam giác ABC vuông tại A nên \(\widehat {BAC} = {90^0}\)
Tứ giác ABDC có: \(MD = MA\) (gt), \(MB = MC\) (gt), M thuộc AD, M thuộc BC nên tứ giác ABDC là hình bình hành. Mà \(\widehat {BAC} = {90^0}\) nên tứ giác ABDC là hình chữ nhật.
b) Vì E là điểm đối xứng của A qua B nên \(EB = AB\)
Vì ABDC là hình chữ nhật nên \(AB = CD,\) AB//CD
Tứ giác BEDC có: \(EB = DC\left( { = AB} \right)\), EB//DC nên tứ giác BEDC là hình bình hành.
c) Tam giác AED có hai đường trung tuyến BD và EM cắt nhau tại K nên K là trọng tâm của tam giác EAD. Suy ra: \(EK = \frac{2}{3}EM\), do đó \(EK = 2KM\).