Giải bài 1 trang 27 Chuyên đề học tập Toán 12 - Cánh diều

Đề bài

Để hoàn thành hợp đồng đúng hạn, một nhà mát tổ chức cho công nhân làm việc theo hai ca, ca I từ 7h30 đến 15h30 và ca II từ 6h00 đến 22h00. Mỗi ca có số công nhân làm việc tối thiểu là 40 người và tối đa là 120 người. Số công nhân làm việc ở cả hai ca ít nhất là 100 người.

Thu nhập tăng thêm cho mỗi công nhân được tính theo Bảng 2

Tính số lượng công nhân làm việc cho từng ca sao cho số tiền nhà máy trả cho thu nhập tăng thêm là ít nhất.

Lời giải chi tiết

Gọi x là số công nhân làm việc ở ca I, y là số công nhân làm việc ở ca II (\(x \in N\); \(y \in N\)).

Số tiền nhà máy phải trả cho thu nhập tăng thêm là \(T = 20x + 25y\) (nghìn đồng)

Mỗi ca có số công nhân làm việc tối thiểu là 40 người và tối đa là 120 người nên ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}40 \le x \le 120\\40 \le y \le 120\end{array} \right.\)

Số công nhân làm việc ở cả hai ca ít nhất là 100 người nên ta có \(x + y \le 100\)

Vì để số tiền nhà máy trả cho thu nhập tăng thêm là ít nhất nên ta có bài toán quy hoạch tuyến tính sau:

\(\left\{ \begin{array}{l}\min (T = 20x + 25y)\\x + y \le 100\\40 \le x \le 100\\40 \le y \le 100\\x \in N;y \in N\end{array} \right.\)  (III)

Xét hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn (\(x,y\) là các số thực):

\(\left\{ \begin{array}{l}x + y \le 100\\40 \le x \le 100\\40 \le y \le 100\end{array} \right.\)   (III’)

Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(T = 20x + 25y\) khi \(\left( {x,y} \right)\) thỏa mãn hệ bất phương trình (III’)

Bước 1. Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình (III’).

Miền nghiệm là miền ngũ giác ABCDE với tọa độ các đỉnh \(A(60;40)\); \(B(40;60)\); \(C(40;120)\); \(D(120;120)\); \(E(120;40)\).

Bước 2. Tính giá trị biểu thức \(T(x,y) = 20x + 25y\) tại các đỉnh của ngũ giác ABCDE:  \(T(40;60) = 2300\); \(T(60;40) = 2200\); \(T(40;120) = 3800\); \(T(120;120) = 5400\); \(T(120;40) = 3400\).

Bước 3. Ta thấy biểu thức \(T = 20x + 25y\) đạt giá trị nhỏ nhất tại cặp số thực \((x,y)\) là tọa độ một trong các đỉnh của ngũ giác ABCDE. So sánh năm giá trị thu được của \(T\) ở bước 2, ta được giá trị nhỏ nhất cần tìm là \(T(60;40) = 2200\)

Bước 4. Vì 60 và 40 đều là số tự nhiên nên cặp \((x,y) = (60,40)\) là nghiệm của bài toán (III)

Vậy để nhà máy trả tiền thu nhập tăng thêm ít nhất thì ca I cần 60 công nhân, ca II cần 40 công nhân