Đề thi vào 10 môn Toán Hải Phòng năm 2021Tải vềCâu 1. (1,5 điểm) Cho hai biểu thức: Quảng cáo
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn
Tải về
Đề bài Câu 1. (1,5 điểm) Cho hai biểu thức: A=√50−3√8+√(√2+1)2;A=√50−3√8+√(√2+1)2;B=x√x−√xx−1+x−1√x+1B=x√x−√xx−1+x−1√x+1 (với x≥0,x≠1x≥0,x≠1). a) Rút gọn các biểu thức A,B.A,B. b) Tìm các giá trị của xx sao cho A≤B.A≤B. Câu 2. (1,5 điểm) 1) Giải hệ phương trình {2x+1√y=3x−1√y=0⋅ 2) Bạn Nam hiện có 50000 đồng. Để phục vụ cho việc học tập, bạn muốn mua một quyển sách tham khảo Toán có giá 150000 đồng. Vì thế, bạn Nam đã lên kế hoạch mỗi ngày tiết kiệm 5000 đồng. Gọi số tiền bạn Nam tiết kiệm được sau x (ngày) (gồm cả tiền hiện có và tiền tiết kiệm được hàng ngày) là y (đồng). a) Lập công thức tính y theo x. b) Hỏi sau bao nhiêu ngày bạn Nam có vừa đủ tiền để mua được quyển sách tham khảo Toán? Câu 3. (2,5 điểm) 1) Cho phương trình x2−2(m+1)x+m2+2=0(1) (x là ẩn số, m là tham số). a) Giải phương trình (1) khi m=1. b) Xác định các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1,x2 thỏa mãn điều kiện x21+2(m+1)x2=12m+2. 2) Bài toán có nội dung thực tế: Lúc 9 giờ sáng, một xe ô tô khởi hành từ A đến B với vận tốc không đổi trên cả quãng đường là 55km/h. Sau khi xe ô tô này đi được 20phút thì cũng trên quãng đường đó, một xe ô tô khác bắt đầu đi từ B về A với vận tốc không đổi trên cả quãng đường là 45km/h. Hỏi hai xe ô tô đó gặp nhau lúc mấy giờ? Biết quãng đường AB dài 135km. Câu 4. (0,75 điểm) Một vật thể đặc bằng kim loại dạng hình trụ có bán kính đường tròn đáy và chiều cao đều bằng 6 cm. Người ta khoan xuyên qua hai mặt đáy của vật thể đó theo phương vuông góc với mặt đáy, phần bị khoan là một lỗ hình trụ có bán kính đường tròn đáy bằng 2 cm (Hình 1). Tính thể tích phần còn lại của vật thể đó. Câu 5. (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AD,BE và CF của tam giác ABC cắt nhau tại H. a) Chứng minh BCEF và CDHE là các tứ giác nội tiếp. b) Chứng minh EB là tia phân giác của ∠FED và tam giác BFE đồng dạng với tam giác DHE. c) Giao điểm của AD với đường tròn (O) là I (I khác A), IE cắt đường tròn (O) tại K (K khác I). Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng EF. Chứng minh rằng ba điểm B,M,K thẳng hàng. Câu 6. (0,75 điểm) Cho ba số thực dương x,y,z thỏa mãn điều kiện x2≥y2+z2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P=1x2(y2+z2)+x2(1y2+1z2)+2016. Lời giải chi tiết Câu 1. (1,5 điểm) Cho hai biểu thức: A=√50−3√8+√(√2+1)2;B=x√x−√xx−1+x−1√x+1 (với x≥0,x≠1). a) Rút gọn các biểu thức A,B. b) Tìm các giá trị của x sao cho A≤B. Phương pháp: a) + Sử dụng hằng đẳng thức: √A2=|A|={AkhiA≥0−AkhiA<0 Thực hiện các phép tính với căn bậc hai. + Vận dụng hằng đẳng thức a−b=(√a−√b)(√a+√b) xác định mẫu thức chung của biểu thức Quy đồng các phân thức, thực hiện các phép toán từ đó rút gọn được biểu thức. b) Giải bất phương trình: A≤B. Cách giải: a) A=√50−3√8+√(√2+1)2 A=5√2−6√2+|√2+1|A=−√2+√2+1A=1 B=x√x−√xx−1+x−1√x+1 B=√x(x−1)x−1+(√x−1)(√x+1)√x+1 B=√x+√x−1=2√x−1. b) Để A≤B⇔1≤2√x−1 ⇔2√x≥2⇔√x≥1⇔x≥1 Kết hợp với điều kiện x≥0,x≠1 thì x>1. Câu 2. (1,5 điểm) 1) Giải hệ phương trình {2x+1√y=3x−1√y=0⋅ 2) Bạn Nam hiện có 50000 đồng. Để phục vụ cho việc học tập, bạn muốn mua một quyển sách tham khảo Toán có giá 150000 đồng. Vì thế, bạn Nam đã lên kế hoạch mỗi ngày tiết kiệm 5000 đồng. Gọi số tiền bạn Nam tiết kiệm được sau x (ngày) (gồm cả tiền hiện có và tiền tiết kiệm được hàng ngày) là y (đồng). a) Lập công thức tính y theo x. b) Hỏi sau bao nhiêu ngày bạn Nam có vừa đủ tiền để mua được quyển sách tham khảo Toán? Phương pháp: 1) Đặt điều kiện để hệ phương trình có nghĩa. Biểu thức 1√h(x) xác định ⇔h(x)>0 Vận dụng phương pháp cộng đại số, tìm được x và y, kết luận nghiệm của hệ phương trình 2) a) Vận dụng kiến thức của hàm số bậc nhất b) Thay y=150000 vào công thức vừa lập được ở ý a, từ đó tìm được số ngày cần tiết kiệm tiền của Nam. Cách giải: 1) ĐK: y>0. {2x+1√y=3x−1√y=0⇔{3x=3x−1√y=0⇔{x=11√y=1⋅ Với 1√y=1⇒√y=1⇔y=1(thõa mãn y>0) Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (x,y)=(1;1). 2) a) Công thức tính y theo x là y=5000x+50000 (đồng). b) Bạn Nam có vừa đủ tiền mua được quyển sách tham khảo Toán đó khi 5000x+50000=150000 ⇔5000x=150000−50000⇔5000x=100000 ⇔x=20 (ngày). Vậy sau 20ngày tiết kiệm, bạn Nam vừa đủ tiền mua quyển sách tham khảo Toán. Câu 3. (2,5 điểm) 1) Cho phương trình x2−2(m+1)x+m2+2=0(1) (x là ẩn số, m là tham số). a) Giải phương trình (1) khi m=1. b) Xác định các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1,x2 thỏa mãn điều kiện x21+2(m+1)x2=12m+2. 2) Bài toán có nội dung thực tế: Lúc 9 giờ sáng, một xe ô tô khởi hành từ A đến B với vận tốc không đổi trên cả quãng đường là 55km/h. Sau khi xe ô tô này đi được 20phút thì cũng trên quãng đường đó, một xe ô tô khác bắt đầu đi từ B về A với vận tốc không đổi trên cả quãng đường là 45km/h. Hỏi hai xe ô tô đó gặp nhau lúc mấy giờ? Biết quãng đường AB dài 135km. Phương pháp: 1) a) Thay m=1 vào phương trình (1) Tính nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai: Nếu a+b+c=0 thì phương trình ax2+bx+c=0(a≠0) có hai nghiệm phân biệt: x1=1;x2=ca b) Phương trình ax2+bx+c=0(a≠0) có hai nghiệm phân biệt ⇔Δ>0 (hoặc Δ′>0) Áp dụng hệ thức Vi – ét, tính được x1+x2;x1.x2 theo m Thay x1+x2 theo m vào biểu thức x21+2(m−1)x2=12m+2 ta được phương trình có x1+x2;x1.x2 Biến đổi, tìm m 2) Gọi thời gian xe ô tô đi từ A đến điểm gặp nhau của hai xe ô tô là x (giờ), (điều kiện x>13). (Với 20 phút bằng 13 giờ). Tính được thời gian ô tô đi từ B đến điểm hai xe gặp nhau; Tính được quãng đường đi từ A về B và ngược lại Từ đó lập được phương trình, giải phương trình, đối chiếu điều kiện và kết luận. Cách giải: 1) a) Với m=1 phương trình (1) có dạng x2−4x+3=0. Vì a+b+c=1+(−4)+3=0 nên phương trình có hai nghiệm là x1=1;x2=3. Vậy phương trình có hai nghiệm x1=1;x2=3 khi m=1. b) Có Δ′=[−(m+1)]2−(m2+2)=m2+2m+1−m2−2=2m−1. Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1,x2 khi Δ′>0 ⇔2m−1>0⇔m>12. Khi đó theo hệ thức Vi-ét {x1+x2=2(m+1)x1x2=m2+2(∗). Thay 2(m+1)=x1+x2 vào biểu thức x21+2(m+1)x2=12m+2 được x21+(x1+x2)x2=12m+2⇔(x1+x2)2−x1x2=12m+2(2). Thay (∗) vào phương trình (2) ta được: 4(m+1)2−(m2+2)=12m+2⇔3m2−4m=0⇔m(3m−4)=0⇔[m=03m−4=0⇔[m=0(ktmdom>12)m=43(tm) Vậy với m=43 phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1,x2 thỏa mãn x21+2(m+1)x2=12m+2. Cách giải: 2) Gọi thời gian xe ô tô đi từ A đến điểm gặp nhau của hai xe ô tô là x (giờ), (điều kiện x>13). (Với 20 phút bằng 13 giờ). Khi đó, thời gian ô tô đi từ B đến điểm hai xe gặp nhau là x−13 (giờ). Vì xe ô tô đi từ A đến B đi với vận tốc là 55 km/h nên quãng đường xe đó đi đến điểm hai xe gặp nhau là 55x (km). Vì xe ô tô đi từ B về A với vận tốc là 45 km/h nên quãng đường xe đó đi đến điểm hai xe gặp nhau là 45(x−13)(km). Do hai xe chuyển động ngược chiều và đi trên quãng đường dài 135km nên có phương trình: 55x+45(x−13)=135⇔100x−15=135⇔100x=150⇔x=32(tmdox>13) Vậy hai xe gặp nhau lúc 10h30′ Câu 4. (0,75 điểm) Một vật thể đặc bằng kim loại dạng hình trụ có bán kính đường tròn đáy và chiều cao đều bằng 6 cm. Người ta khoan xuyên qua hai mặt đáy của vật thể đó theo phương vuông góc với mặt đáy, phần bị khoan là một lỗ hình trụ có bán kính đường tròn đáy bằng 2 cm (Hình 1). Tính thể tích phần còn lại của vật thể đó. Phương pháp: Thể tích của hình trụ có bán kính đáy là R, chiều cao h được tính theo công thức V=πr2h Cách giải: Gọi thể tích của vật thể hình trụ V1 thì V1=πR21h=62.6π=216π(cm3). Gọi thể tích của lỗ khoét hình trụ đó là V2 thì V2=πR22h=22.6π=24π(cm3). Gọi thể tích phần còn lại của vật thể đó là Vthì V=V1−V2=216π−24π=192π(cm3). Câu 5. (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AD,BE và CF của tam giác ABC cắt nhau tại H. a) Chứng minh BCEF và CDHE là các tứ giác nội tiếp. b) Chứng minh EB là tia phân giác của ∠FED và tam giác BFE đồng dạng với tam giác DHE. c) Giao điểm của AD với đường tròn (O) là I (I khác A), IE cắt đường tròn (O) tại K (K khác I). Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng EF. Chứng minh rằng ba điểm B,M,K thẳng hàng. Phương pháp: a) Vận dụng dấu hiệu nhận biết: + Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800 là tứ giác nội tiếp. + Tứ giác có hai đỉnh kề cùng nhìn một cạnh dưới các góc bằng nhau là tứ giác nội tiếp. b) {∠BEF=∠BED∠EBF=∠HDE⇒ΔBFE∼ΔDHE(g.g) c) Ta sẽ chứng minh: ∠ABM=∠ABK, mà BM,BKnằm trên cùng nửa mặt phẳng bờ chứa AB. Do đó hai tia BM và BK là hai tia trùng nhau hay B,Mvà K là ba điểm thẳng hàng. Cách giải: a) + Có BE,CFlà các đường cao của tam giác ABC nên ∠BFC=900;∠BEC=900 Tứ giác BCEFcó: ∠BFC=∠BEC=900 Mà hai đỉnh E,F kề nhau ⇒BCEF là tứ giác nội tiếp. + Có AD,BE là các đường cao của tam giác ABC nên ∠HDC=900,∠HEC=900 Tứ giác CDHEcó: ∠HDC+∠HEC=1800 mà ∠HDC và ∠HEC là hai góc đối nhau nên CDHE là tứ giác nội tiếp. b) Do BCEF là tứ giác nội tiếp nên ∠BEF=∠BCF(góc nội tiếp cùng chắn cungBF) hay ∠BEF=∠HCD(1) Do CDHE là tứ giác nội tiếp nên ∠HED=∠HCD (góc nội tiếp cùng chắn cungHD) (2) Từ (1) và (2) suy ra ∠BEF=∠HED hay ∠BEF=∠BED. Do đó EB là tia phân giác của ∠FED. Do BCEF là tứ giác nội tiếp nên ∠EBF=∠ECF(góc nội tiếp cùng chắn cungEF) hay ∠EBF=∠HCE(3). Do CDHE là tứ giác nội tiếp nên ∠HDE=∠HCE (góc nội tiếp cùng chắn cungHE)(4). Từ (3) và (4) suy ra ∠EBF=∠HDE Xét ΔBFEvà ΔDHE có ∠BEF=∠BED và ∠EBF=∠HDE nên ΔBFE∼ΔDHE(g.g) c) Ta có ∠EBC=∠CAD (cùng phụ với ∠ACB) hay ∠EBC=∠CAI Xét đường tròn (O) có ∠CAI=∠CBI (góc nội tiếp cùng chắn cungCI) Nên ∠EBC=∠CBI hay BC là phân giác của ∠HBI, mà BC⊥HI suy ra ΔHBI cân tại B. Do đó BC là đường trung trực của ΔHBI suy ra D là trung điểm của HI. Vì ΔBFE∼ΔDHE⇒BFDH=FEHE⇒BF2DH=FE2HE mà HI=2DH (D là trung điểm của HI) và FM=FE2 (M là trung điểm của EF) Do đó BFHI=FMHE⋅ Xét ΔBFMvà ΔIHE có BFHI=FMHE và ∠BFM=∠IHE nên ΔBFM∼ΔIHE(c.g.c) suy ra ∠FBM=∠HIE (hai góc tương ứng) hay ∠ABM=∠AIK(5). Xét đường tròn (O) có ∠ABK=∠AIK (góc nội tiếp cùng chắn cungAK) (6). Từ (5) và (6) suy ra ∠ABM=∠ABK, mà BM,BKnằm trên cùng nửa mặt phẳng bờ chứa AB. Do đó hai tia BM và BK là hai tia trùng nhau hay B,Mvà K là ba điểm thẳng hàng.
Câu 6. (0,75 điểm) Cho ba số thực dương x,y,z thỏa mãn điều kiện x2≥y2+z2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P=1x2(y2+z2)+x2(1y2+1z2)+2016. Phương pháp: + Áp dụng BĐT 1a+1b≥4a+b + Áp dụng BĐT AM−GM và x2≥y2+z2 (giả thiết của đề bài) Cách giải: Áp dụng BĐT 1a+1b≥4a+b ta được P≥y2+z2x2+4x2y2+z2+2016. P≥y2+z2x2+x2y2+z2+3x2y2+z2+2016. Áp dụng BĐT AM−GM và x2≥y2+z2 ta được P≥2√y2+z2x2⋅x2y2+z2+3(y2+z2)y2+z2+2016=2021. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi {y2=z2x2=y2+z2y2+z2x2=x2y2+z2⇔y=z=x√2. Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là 2021 đạt được khi y=z=x√2.
Quảng cáo
|