Đề thi giữa kì 1 Toán 12 - Đề số 7

Tổng hợp đề thi học kì 1 lớp 12 tất cả các môn - Kết nối tri thức

Toán - Văn - Anh - Lí - Hóa - Sinh - Sử - Địa

Phần I: Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án. Câu 1. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R và có bảng biến thiên như hình vẽ. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Đề bài

Phần I: Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn.
Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1 :

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R và có bảng biến thiên như hình vẽ. Mệnh đề nào sau đây đúng?

  • A

    Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \(( - \infty ; - 2)\) và \(( - 3;0)\)

  • B

    Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng \(( - 3; - 2)\)

  • C

    Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \((0;1)\)

  • D

    Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng \((0; + \infty )\)

Câu 2 :

Cho hàm số f(x) có đạo hàm \(f'(x) = x{(x + 1)^2}{(x - 2)^3}\), \(\forall x \in \mathbb{R}\). Số điểm cực trị của hàm số là

  • A

    1

  • B

    2

  • C

    3

  • D

    0

Câu 3 :

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ bên.

Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [-2;2]. Tính M + m.

  • A

    -1

  • B

    -2

  • C

    0

  • D

    -3

Câu 4 :

Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây. Hỏi đồ thị của hàm số đã cho có bao nhiêu đường tiệm cận?

  • A

    1

  • B

    4

  • C

    2

  • D

    3

Câu 5 :

Đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 3x}}{{x - 2}}\) là:

  • A

    \(y = x - 5\)

  • B

    \(y = 5x\)

  • C

    \(y = x + 5\)

  • D

    \(y =  - x - 5\)

Câu 6 :

Tọa độ tâm đối xứng của đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3x + 1\) là:

  • A

    (-1;3)

  • B

    (1;0)

  • C

    (1;-1)

  • D

    (0;1)

Câu 7 :

Cho ba vecto \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) không đồng phẳng. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

  • A

    Nếu \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) không đồng phẳng thì từ \(m\overrightarrow a  + n\overrightarrow b  + p\overrightarrow c  = \overrightarrow 0 \) ta suy ra m = n = p = 0

  • B

    Nếu có \(m\overrightarrow a  + n\overrightarrow b  + p\overrightarrow c  = \overrightarrow 0 \), trong đó \({m^2} + {n^2} + {p^2} > 0\) thì \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) đồng phẳng

  • C

    Với ba số thực m, n, p thỏa mãn \(m + n + p \ne 0\) ta có \(m\overrightarrow a  + n\overrightarrow b  + p\overrightarrow c  = \overrightarrow 0 \) thì \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) đồng phẳng

  • D

    Nếu giá của \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) đồng quy thì \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) đồng phẳng

Câu 8 :

Hình bên là đồ thị của hàm số f’(x). Hỏi hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

  • A

    \((2; + \infty )\)

  • B

    \((1;2)\)

  • C

    \((0;1)\)

  • D

    \((0;1)\) và \((2; + \infty )\)

Câu 9 :

Đường cong hình bên là đồ thị của hàm số \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\). Khẳng định nào sau đây đúng?

  • A

    a > 0, b < 0, c > 0, d > 0

  • B

    a > 0, b < 0, c < 0, d > 0

  • C

    a > 0, b > 0, c < 0, d > 0

  • D

    a < 0, b > 0, c > 0, d < 0

Câu 10 :

Cho hàm số có bảng biến thiên như hình vẽ sau.

Xác định công thức của hàm số.

  • A

    \(y = \frac{{x - 4}}{{2x + 2}}\)

  • B

    \(y = \frac{{ - 2x - 4}}{{x + 1}}\)

  • C

    \(y = \frac{{ - 2x + 3}}{{x + 1}}\)

  • D

    \(y = \frac{{2 - x}}{{x + 1}}\)

Câu 11 :

Cho tứ diện hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh bằng a và các cạnh bên đều bằng a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SD. Số đo góc (MN,SC) bằng

  • A

    \({45^o}\)

  • B

    \({30^o}\)

  • C

    \({90^o}\)

  • D

    \({60^o}\)

Câu 12 :

Cho hai vecto \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b  \ne 0\). Xác định góc giữa hai vecto \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) khi \(\overrightarrow a .\overrightarrow b  =  - \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|\).

  • A

    \(\alpha  = {180^o}\)

  • B

    \(\alpha  = {0^o}\)

  • C

    \(\alpha  = {90^o}\)

  • D

    \(\alpha  = {45^o}\)

Phần II: Câu trắc nghiệm đúng sai.
Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 1 :

Cho hàm số f(x) xác định trên R có đồ thị như sau:

a) Đồ thị hàm số đã cho có một 1 cực trị

Đúng
Sai

b) Hàm số đã cho đồng biến trên R

Đúng
Sai

c) Điểm (1;2) là tâm đối xứng của đồ thị hàm số y = f(x)

Đúng
Sai

d) Đồ thị hàm số f(x) là \(y = {x^3} - 3{x^2} + 3x - 1\)

Đúng
Sai
Câu 2 :

Cho đồ thị của hàm số f(x) như sau:

a) Đồ thị hàm số f(x) có tiệm cận đứng x = 0

Đúng
Sai

b) Đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng

Đúng
Sai

c) Hàm số f(x) nghịch biến trên mỗi khoảng  và

Đúng
Sai

d) Đồ thị hàm số f(x) có điểm cực đại (-3;-4) và điểm cực tiểu (1;4)

Đúng
Sai
Câu 3 :

Cho tứ diện ABCD có các cạnh đều bằng a.

a) \(\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {CB}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {DA}  = \overrightarrow 0 \)

Đúng
Sai

b) \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC}  =  - \frac{{{a^2}}}{2}\)

Đúng
Sai

c) \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CD} \)

Đúng
Sai

d) \(AB \bot CD\)

Đúng
Sai
Câu 4 :

Trong không gian Oxyz, cho vecto \(\overrightarrow a  = (2;3;1)\), \(\overrightarrow b  = ( - 1;5;2)\), \(\overrightarrow c  = (4; - 1;3)\) và \(\overrightarrow x  = ( - 3;22;5)\).

a) \(\left| {2\overrightarrow a } \right| = 14\)

Đúng
Sai

b) \(\left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right| = \sqrt {74} \)

Đúng
Sai

c) \(3\overrightarrow a  - 2\overrightarrow c  = ( - 2;11; - 3)\)

Đúng
Sai

d) \(\overrightarrow x  =  - 2\overrightarrow a  - 3\overrightarrow b  + \overrightarrow c \)

Đúng
Sai
Phần III: Câu trắc nghiệm trả lời ngắn.
Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Câu 1 :

Gọi giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \sqrt {1 - x}  + \sqrt {1 + x} \) lần lượt là M, m. Tính \(M + 2{m^2}\).

Đáp án:

Câu 2 :

Với giá trị nào của tham số m để đồ thị hàm số \(y = \frac{{m{x^2} - 4}}{{mx - 1}}\) có tiệm cận đứng đi qua điểm A(1;4)?

Đáp án:

Câu 3 :

Trong không gian Oxyz, cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có A(1;0;1), B(2;1;2), D(1;-1;1), C’(4;5;-5). Tính tổng của hoành độ, tung độ, cao độ đỉnh A’.

Đáp án:

Câu 4 :

Một chất điểm chuyển động theo quy luật \(s(t) = 6{t^2} - {t^3}\). Tính thời điểm t (giây) tại đó vận tốc v (m/s) của chuyển động tại giá trị lớn nhất.

Đáp án:

Câu 5 :

Một khách sạn có 60 phòng. Chủ khách sạn nhận thấy nếu cho thuê mỗi phòng với giá 500 000 đồng/ngày thì tất cả các phòng đều được thuê hết và cứ tăng giá thêm 50 000 đồng một phòng thì có thêm 2 phòng trống. Hỏi chủ khách sạn nên cho thuê mỗi phòng với giá bao nhiêu tiền (đơn vị: nghìn đồng) một ngày để tổng doanh thu một ngày là lớn nhất.

Đáp án:

Câu 6 :

Cho hàm số \(y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\) có đồ thị như hình. Biết a là số thực dương, hỏi trong các số a, c, d có tất cả bao nhiêu số dương?

Đáp án:

Lời giải và đáp án

Phần I: Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn.
Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1 :

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R và có bảng biến thiên như hình vẽ. Mệnh đề nào sau đây đúng?

  • A

    Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \(( - \infty ; - 2)\) và \(( - 3;0)\)

  • B

    Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng \(( - 3; - 2)\)

  • C

    Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \((0;1)\)

  • D

    Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng \((0; + \infty )\)

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Quan sát bảng biến thiên và nhận xét.

Lời giải chi tiết :

Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (-∞;-2) và (0;1); nghịch biến trên khoảng (-2;0) và (1;+∞).

Câu 2 :

Cho hàm số f(x) có đạo hàm \(f'(x) = x{(x + 1)^2}{(x - 2)^3}\), \(\forall x \in \mathbb{R}\). Số điểm cực trị của hàm số là

  • A

    1

  • B

    2

  • C

    3

  • D

    0

Đáp án : B

Phương pháp giải :

\({x_0}\) là điểm cực trị của hàm số \(f(x)\) nếu \(f'({x_0}) = 0\) và \(f'({x_0})\) đổi dấu qua \({x_0}\).

Lời giải chi tiết :

\(f'(x) = x{(x + 1)^2}{(x - 2)^3} = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{x =  - 1}\\{x = 2}\end{array}} \right.\).

\(f'(x)\) đổi dấu qua \(x = 0\), \(x = 2\).

Vậy số điểm cực trị của hàm số là 2.

Câu 3 :

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ bên.

Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [-2;2]. Tính M + m.

  • A

    -1

  • B

    -2

  • C

    0

  • D

    -3

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Quan sát đồ thị và nhận xét.

Lời giải chi tiết :

Dựa vào đồ thị ta thấy:

\(\mathop {\max }\limits_{[ - 2;2]} f(x) = f(2) = 0\), \(\mathop {\min }\limits_{[ - 2;2]} f(x) = f( - 1) = f(2) =  - 2\). Vậy M + m = 0 + (-2) = -2.

Câu 4 :

Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây. Hỏi đồ thị của hàm số đã cho có bao nhiêu đường tiệm cận?

  • A

    1

  • B

    4

  • C

    2

  • D

    3

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Quan sát bảng biến thiên và nhận xét.

Lời giải chi tiết :

Dựa vào bảng biến thiên ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) =  + \infty \) nên x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Mặt khác: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f(x) = 1\), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f(x) =  - 1\) nên y = 1, y = -1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị có 3 tiệm cận.

Câu 5 :

Đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 3x}}{{x - 2}}\) là:

  • A

    \(y = x - 5\)

  • B

    \(y = 5x\)

  • C

    \(y = x + 5\)

  • D

    \(y =  - x - 5\)

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Thực hiện phép chia đa thức (ở tử) cho đa thức (ở mẫu) ta được \(y = ax + b + \frac{M}{{cx + d}}\)(a≠0) với M là hằng số.

Đường thẳng y = ax + b (a≠0) gọi là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = f(x) nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {f(x) - (ax + b)} \right] = 0\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left[ {f(x) - (ax + b)} \right] = 0\).

Kết luận đường thẳng y = ax +b là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Lời giải chi tiết :

Ta có: \(y = y = \frac{{{x^2} + 3x}}{{x - 2}} = x + 5 + \frac{{10}}{{x - 2}} = f(x)\).

Từ đó: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {f(x) - \left( {x + 5} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{10}}{{x - 2}} = 0\).

Vậy đường thẳng \(y = x + 5\) là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.

Câu 6 :

Tọa độ tâm đối xứng của đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3x + 1\) là:

  • A

    (-1;3)

  • B

    (1;0)

  • C

    (1;-1)

  • D

    (0;1)

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Tìm điểm thuộc đồ thị có hoành độ tại y’’=0.

Lời giải chi tiết :

\(y' = 3{x^2} - 3\), \(y'' = 6x = 0 \Leftrightarrow x = 0\).

Thay x = 0 vào hàm số, được y = 1.

Câu 7 :

Cho ba vecto \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) không đồng phẳng. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

  • A

    Nếu \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) không đồng phẳng thì từ \(m\overrightarrow a  + n\overrightarrow b  + p\overrightarrow c  = \overrightarrow 0 \) ta suy ra m = n = p = 0

  • B

    Nếu có \(m\overrightarrow a  + n\overrightarrow b  + p\overrightarrow c  = \overrightarrow 0 \), trong đó \({m^2} + {n^2} + {p^2} > 0\) thì \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) đồng phẳng

  • C

    Với ba số thực m, n, p thỏa mãn \(m + n + p \ne 0\) ta có \(m\overrightarrow a  + n\overrightarrow b  + p\overrightarrow c  = \overrightarrow 0 \) thì \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) đồng phẳng

  • D

    Nếu giá của \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) đồng quy thì \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) đồng phẳng

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Dựa vào lý thuyết vecto cùng phương, vecto đồng phẳng.

Lời giải chi tiết :

Câu D sai. Ví dụ phản chứng: 3 cạnh của hình chóp tam giác đồng quy tại 1 đỉnh nhưng chúng không đồng phẳng.

Câu 8 :

Hình bên là đồ thị của hàm số f’(x). Hỏi hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

  • A

    \((2; + \infty )\)

  • B

    \((1;2)\)

  • C

    \((0;1)\)

  • D

    \((0;1)\) và \((2; + \infty )\)

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Quan sát đồ thị và nhận xét.

Lời giải chi tiết :

Dựa vào đồ thị ta thấy \(f'(x) > 0,\forall x > 2\) nên y = f(x) đồng biến trên \((2; + \infty )\).

Câu 9 :

Đường cong hình bên là đồ thị của hàm số \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\). Khẳng định nào sau đây đúng?

  • A

    a > 0, b < 0, c > 0, d > 0

  • B

    a > 0, b < 0, c < 0, d > 0

  • C

    a > 0, b > 0, c < 0, d > 0

  • D

    a < 0, b > 0, c > 0, d < 0

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Dựa vào sự biến thiên và cực trị của hàm số để xét dấu.

Lời giải chi tiết :

Dựa vào đồ thị ta thấy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y =  + \infty \) nên a > 0. Loại D.

Đồ thị đi qua điểm (0;d) nên d > 0 (vì đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ dương).

Hàm số đạt cực trị tại hai điểm \({x_1},{x_2}\). Dựa vào hình vẽ ta thấy \({x_1} < 0,x{}_2 > 0\) và \({x_1} + {x_2} > 0\).

Mặt khác, \(y' = 3a{x^2} + 2bx + c \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} + {x_2} = \frac{{ - 2b}}{{3a}} > 0 \Rightarrow b < 0}\\{{x_1}{x_2} = \frac{c}{{3a}} < 0 \Rightarrow c < 0}\end{array}} \right.\)

Câu 10 :

Cho hàm số có bảng biến thiên như hình vẽ sau.

Xác định công thức của hàm số.

  • A

    \(y = \frac{{x - 4}}{{2x + 2}}\)

  • B

    \(y = \frac{{ - 2x - 4}}{{x + 1}}\)

  • C

    \(y = \frac{{ - 2x + 3}}{{x + 1}}\)

  • D

    \(y = \frac{{2 - x}}{{x + 1}}\)

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Dựa vào sự biến thiên, tiệm cận và các điểm hàm số đi qua để lập hệ phương trình tìm hệ số.

Lời giải chi tiết :

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = -1 và tiệm cận ngang y = -2. Loại A và D.

Xét hàm số \(y = \frac{{ - 2x - 4}}{{x + 1}}\) có \(y' = \frac{2}{{{{(x + 1)}^2}}} > 0\). Hàm số đồng biến trên các khoảng xác định của nó.

Xét hàm số \(y = \frac{{ - 2x + 3}}{{x + 1}}\) có \(y' = \frac{{ - 5}}{{{{(x + 1)}^2}}} < 0\). Hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định của nó.

Mà theo bảng biến thiên thì hàm số nghịch biến. Ta chọn hàm số \(y = \frac{{ - 2x + 3}}{{x + 1}}\).

Câu 11 :

Cho tứ diện hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh bằng a và các cạnh bên đều bằng a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SD. Số đo góc (MN,SC) bằng

  • A

    \({45^o}\)

  • B

    \({30^o}\)

  • C

    \({90^o}\)

  • D

    \({60^o}\)

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Tính góc thông qua tích vô hướng của 2 vecto.

Lời giải chi tiết :

Ta có: \(AC = a\sqrt 2  \Rightarrow A{C^2} = 2{a^2} = {a^2} + {a^2} = S{A^2} + S{C^2}\). Suy ra \(\Delta SAC\) vuông tại S.

Khi đó: \(\overrightarrow {NM} .\overrightarrow {SC}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {SA} .\overrightarrow {SC}  = 0\). Suy ra \(\left( {\overrightarrow {NM} ,\overrightarrow {SC} } \right) = {90^o}\), tức \(\left( {MN,SC} \right) = {90^o}\).

Câu 12 :

Cho hai vecto \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b  \ne 0\). Xác định góc giữa hai vecto \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) khi \(\overrightarrow a .\overrightarrow b  =  - \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|\).

  • A

    \(\alpha  = {180^o}\)

  • B

    \(\alpha  = {0^o}\)

  • C

    \(\alpha  = {90^o}\)

  • D

    \(\alpha  = {45^o}\)

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức tính tích góc giữa hai vecto.

Lời giải chi tiết :

Ta có: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b  =  - \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right| \Rightarrow \cos (\overrightarrow a ,\overrightarrow b ) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} =  - 1 \Rightarrow (\overrightarrow a ,\overrightarrow b ) = {180^o}\).

Phần II: Câu trắc nghiệm đúng sai.
Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 1 :

Cho hàm số f(x) xác định trên R có đồ thị như sau:

a) Đồ thị hàm số đã cho có một 1 cực trị

Đúng
Sai

b) Hàm số đã cho đồng biến trên R

Đúng
Sai

c) Điểm (1;2) là tâm đối xứng của đồ thị hàm số y = f(x)

Đúng
Sai

d) Đồ thị hàm số f(x) là \(y = {x^3} - 3{x^2} + 3x - 1\)

Đúng
Sai
Đáp án

a) Đồ thị hàm số đã cho có một 1 cực trị

Đúng
Sai

b) Hàm số đã cho đồng biến trên R

Đúng
Sai

c) Điểm (1;2) là tâm đối xứng của đồ thị hàm số y = f(x)

Đúng
Sai

d) Đồ thị hàm số f(x) là \(y = {x^3} - 3{x^2} + 3x - 1\)

Đúng
Sai
Phương pháp giải :

Quan sát đồ thị và nhận xét.

Lời giải chi tiết :

a) Sai. Hàm số f(x) không có cực trị.

b) Đúng. Hàm số đã cho đồng biến trên R.

c) Đúng. Điểm (1;2) là tâm đối xứng của đồ thị hàm số y = f(x) vì nó là điểm uốn của đồ thị.

d) Sai. Đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 3x - 1\) cắt trục tung tại điểm (0;-1), còn đồ thị trên hình vẽ cắt trục tung tại điểm (0;1).

Câu 2 :

Cho đồ thị của hàm số f(x) như sau:

a) Đồ thị hàm số f(x) có tiệm cận đứng x = 0

Đúng
Sai

b) Đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng

Đúng
Sai

c) Hàm số f(x) nghịch biến trên mỗi khoảng  và

Đúng
Sai

d) Đồ thị hàm số f(x) có điểm cực đại (-3;-4) và điểm cực tiểu (1;4)

Đúng
Sai
Đáp án

a) Đồ thị hàm số f(x) có tiệm cận đứng x = 0

Đúng
Sai

b) Đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng

Đúng
Sai

c) Hàm số f(x) nghịch biến trên mỗi khoảng  và

Đúng
Sai

d) Đồ thị hàm số f(x) có điểm cực đại (-3;-4) và điểm cực tiểu (1;4)

Đúng
Sai
Phương pháp giải :

Quan sát đồ thị và nhận xét.

Lời giải chi tiết :

a) Sai. Đồ thị hàm số f(x) có tiệm cận đứng x = -1.

b) Sai. Tâm đối xứng của đồ thị là điểm (-1;0).

c) Sai. Hàm số f(x) đồng biến trên mỗi khoảng \(( - \infty ; - 3)\) và \((1; + \infty )\)

d) Đúng. Đồ thị hàm số f(x) có điểm cực đại (-3;-4) và điểm cực tiểu (1;4) .

Câu 3 :

Cho tứ diện ABCD có các cạnh đều bằng a.

a) \(\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {CB}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {DA}  = \overrightarrow 0 \)

Đúng
Sai

b) \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC}  =  - \frac{{{a^2}}}{2}\)

Đúng
Sai

c) \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CD} \)

Đúng
Sai

d) \(AB \bot CD\)

Đúng
Sai
Đáp án

a) \(\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {CB}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {DA}  = \overrightarrow 0 \)

Đúng
Sai

b) \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC}  =  - \frac{{{a^2}}}{2}\)

Đúng
Sai

c) \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CD} \)

Đúng
Sai

d) \(AB \bot CD\)

Đúng
Sai
Phương pháp giải :

Sử dụng quy tắc cộng vecto, lý thuyết các vecto bằng nhau, vecto đối nhau, công thức tính góc giữa hai vecto.

Lời giải chi tiết :

a) Đúng. \(\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {CB}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {DA}  = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {DA}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {CB}  = \overrightarrow 0 \).

b) Đúng. \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC}  =  - \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC}  =  - a.a.\cos {60^o} =  - \frac{{{a^2}}}{2}\).

c) Sai. \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD}  = a.a.\cos {60^o} = \frac{{{a^2}}}{2}\), \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CD}  =  - \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CD}  =  - a.a.\cos {60^o} =  - \frac{{{a^2}}}{2}\).

d) Đúng. Giả sử I là trung điểm của CD thì \(CD \bot (ABI)\), suy ra \(CD \bot AB\).

Câu 4 :

Trong không gian Oxyz, cho vecto \(\overrightarrow a  = (2;3;1)\), \(\overrightarrow b  = ( - 1;5;2)\), \(\overrightarrow c  = (4; - 1;3)\) và \(\overrightarrow x  = ( - 3;22;5)\).

a) \(\left| {2\overrightarrow a } \right| = 14\)

Đúng
Sai

b) \(\left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right| = \sqrt {74} \)

Đúng
Sai

c) \(3\overrightarrow a  - 2\overrightarrow c  = ( - 2;11; - 3)\)

Đúng
Sai

d) \(\overrightarrow x  =  - 2\overrightarrow a  - 3\overrightarrow b  + \overrightarrow c \)

Đúng
Sai
Đáp án

a) \(\left| {2\overrightarrow a } \right| = 14\)

Đúng
Sai

b) \(\left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right| = \sqrt {74} \)

Đúng
Sai

c) \(3\overrightarrow a  - 2\overrightarrow c  = ( - 2;11; - 3)\)

Đúng
Sai

d) \(\overrightarrow x  =  - 2\overrightarrow a  - 3\overrightarrow b  + \overrightarrow c \)

Đúng
Sai
Phương pháp giải :

Sử dụng các quy tắc cộng vecto, công thức tính tích vô hướng của hai vecto, độ dài vecto.

Lời giải chi tiết :

a) Sai. Vì \(\left| {2\overrightarrow a } \right| = \sqrt {{4^2} + {6^2} + {2^2}}  = 2\sqrt {14} \).

b) Đúng. Vì \(\left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right| = \sqrt {{1^2} + {8^2} + {3^2}}  = \sqrt {74} \).

c) Đúng. Vì \(3\overrightarrow a  - 2\overrightarrow c  = (6;9;3) - (8; - 2;6) = ( - 2;11; - 3)\)

d) Sai. Đặt \(\overrightarrow x  = m\overrightarrow a  + n\overrightarrow b  + p\overrightarrow c \) với \(m,n,p \in R\).

Suy ra \(( - 3;22;5) = m(2;3;1) + n( - 1;5;2) + p(;4; - 1;3) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2m - n + 4p =  - 3}\\{3m + 5n - p = 22}\\{m + 2n + 3p = 5}\end{array}} \right.\)

Giải hệ trên ta được m = 2, n = 3, p = -1. Vậy \(\overrightarrow x  = 2\overrightarrow a  + 3\overrightarrow b  - \overrightarrow c \).

Phần III: Câu trắc nghiệm trả lời ngắn.
Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Câu 1 :

Gọi giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \sqrt {1 - x}  + \sqrt {1 + x} \) lần lượt là M, m. Tính \(M + 2{m^2}\).

Đáp án:

Đáp án

Đáp án:

Phương pháp giải :

- Tính y’, tìm các nghiệm của y’ = 0.

- Tìm giá trị y tại các điểm cực trị của hàm số và hai đầu mút của đoạn.

Lời giải chi tiết :

Tập xác định: D = [-1;1].

Ta có: \(f'(x) =  - \frac{1}{{2\sqrt {1 - x} }} + \frac{1}{{2\sqrt {1 + x} }} =  - \frac{{\sqrt {1 + x} }}{{2\sqrt {1 - x} }} + \frac{{\sqrt {1 - x} }}{{2\sqrt {1 + x} }} = 0\)

\( \Leftrightarrow \sqrt {1 - x}  = \sqrt {1 + x}  \Leftrightarrow x = 0\).

\(f( - 1) = f(1) = \sqrt 2 \); f(0) = 2.

Vậy \(M + 2{m^2} = 2 + 2.{\left( {\sqrt 2 } \right)^2} = 6\).

Câu 2 :

Với giá trị nào của tham số m để đồ thị hàm số \(y = \frac{{m{x^2} - 4}}{{mx - 1}}\) có tiệm cận đứng đi qua điểm A(1;4)?

Đáp án:

Đáp án

Đáp án:

Phương pháp giải :

Sử dụng quy tắc tìm đường tiệm cận của hàm phân thức.

Lời giải chi tiết :

Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là \(x = \frac{1}{m}\).

Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đi qua điểm A(1;4) nên \(\frac{1}{m} = 1 \Leftrightarrow m = 1\).

Thử lại thấy thỏa mãn.

Câu 3 :

Trong không gian Oxyz, cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có A(1;0;1), B(2;1;2), D(1;-1;1), C’(4;5;-5). Tính tổng của hoành độ, tung độ, cao độ đỉnh A’.

Đáp án:

Đáp án

Đáp án:

Phương pháp giải :

Sử dụng quy tắc hình hộp.

Lời giải chi tiết :

Theo quy tắc hình hộp, ta có: \(\overrightarrow {AA'}  + \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AC'} \), suy ra \(\overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow {AC'}  - \overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AD} \).

Lại có: \(\overrightarrow {AC'}  = (3;5; - 6)\), \(\overrightarrow {AB}  = (1;1;1)\), \(\overrightarrow {AD}  = (0; - 1;0)\).

Do đó:

\(\overrightarrow {AA'}  = (2;5; - 7)\), suy ra \(A'(3;5; - 6)\). Tổng cần tìm là 3 + 5 + (-6) = 2.

Câu 4 :

Một chất điểm chuyển động theo quy luật \(s(t) = 6{t^2} - {t^3}\). Tính thời điểm t (giây) tại đó vận tốc v (m/s) của chuyển động tại giá trị lớn nhất.

Đáp án:

Đáp án

Đáp án:

Phương pháp giải :

Lập bảng biến thiên và tìm giá trị lớn nhất của hàm số.

Lời giải chi tiết :

Theo giả thiết: \(s(t) = 6{t^2} - {t^3}\), \(t \in (0; + \infty )\).

Vận tốc của chuyển động là \(v(t) = s'(t) = 12t - 3{t^2}\).

Ta có: \(v'(t) = 12 - 6t = 0 \Leftrightarrow t = 2\).

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy vận tốc đạt giá trị lớn nhất khi t = 2.

Câu 5 :

Một khách sạn có 60 phòng. Chủ khách sạn nhận thấy nếu cho thuê mỗi phòng với giá 500 000 đồng/ngày thì tất cả các phòng đều được thuê hết và cứ tăng giá thêm 50 000 đồng một phòng thì có thêm 2 phòng trống. Hỏi chủ khách sạn nên cho thuê mỗi phòng với giá bao nhiêu tiền (đơn vị: nghìn đồng) một ngày để tổng doanh thu một ngày là lớn nhất.

Đáp án:

Đáp án

Đáp án:

Phương pháp giải :

Lập hàm số tính doanh thu một ngày của khách sạn và tìm giá trị lớn nhất.

Lời giải chi tiết :

Gọi giá tiền chủ khách sạn cho thuê một phòng là x (\(x \ge 500\)).

Vì cứ tăng giá thêm 50 000 đồng một phòng thì có thêm 2 phòng trống nên số phòng được thuê là:

\(60 - \frac{{x - 500}}{{50}}.2 = 80 - \frac{x}{{25}}\).

Khi đó, tổng doanh thu 1 ngày là \(x\left( {80 - \frac{x}{{25}}} \right) = 80x - \frac{{{x^2}}}{{25}} = f(x)\).

Ta có \(f'(x) = 80 - \frac{{2x}}{{25}} = 0 \Leftrightarrow x = 1000\).

Vì \(f(x)\) là tam thức bậc hai có hệ số cao nhất âm nên f(x) đạt giá trị lớn nhất tại x = 1000.

Vậy để tổng doanh thu lớn nhất thì thì chủ khách sạn nên cho thuê phòng với giá 1000 nghìn đồng/ngày (tức 1 triệu đồng).

Câu 6 :

Cho hàm số \(y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\) có đồ thị như hình. Biết a là số thực dương, hỏi trong các số a, c, d có tất cả bao nhiêu số dương?

Đáp án:

Đáp án

Đáp án:

Phương pháp giải :

Quan sát đồ thị.

Lời giải chi tiết :

Đường tiệm cận ngang của đồ thị là \(y = \frac{a}{c}\) cắt trục tung tại điểm có tung độ dương nên a.c > 0. Vì a > 0 nên c > 0.

Đường tiệm cận đứng của đồ thị là \(x = \frac{{ - d}}{c}\) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ âm nên -d.c < 0 hay c.d > 0. Vì c > 0 nên d > 0.

Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ âm nên \(\frac{b}{d} < 0\). Mà d > 0 nên b < 0.

Vậy ta có a, c, d là các số dương.

  • Đề thi giữa kì 1 Toán 12 - Đề số 8

    Đề thi giữa kì 1 Toán 12 - Đề số 8

    Phần I: Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

  • Đề thi giữa kì 1 Toán 12 - Đề số 6

    Đề thi giữa kì 1 Toán 12 - Đề số 6

    Phần I: Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án. Câu 1. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R và có bảng biến thiên như hình vẽ. Mệnh đề nào sau đây sai?

  • Đề thi giữa kì 1 Toán 12 - Đề số 5

    Đề thi giữa kì 1 Toán 12 - Đề số 5

    Phần I: Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án. Câu 1. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R và có bảng biến thiên như sau:

  • Đề thi giữa kì 1 Toán 12 - Đề số 4

    Đề thi giữa kì 1 Toán 12 - Đề số 4

    Phần I: Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án. Câu 1. Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ.

  • Đề thi giữa kì 1 Toán 12 - Đề số 3

    Đề thi giữa kì 1 Toán 12 - Đề số 3

    Phần I: Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án. Câu 1. Cho hàm số y = f(x) xác định trên R{-1}, liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như hình. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

close