Đề thi giữa kì 1 Toán 12 - Đề số 7Phần I: Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án. Câu 1. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R và có bảng biến thiên như hình vẽ. Mệnh đề nào sau đây đúng?Đề bài
Phần I: Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn.
Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1 :
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R và có bảng biến thiên như hình vẽ. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Câu 2 :
Cho hàm số f(x) có đạo hàm \(f'(x) = x{(x + 1)^2}{(x - 2)^3}\), \(\forall x \in \mathbb{R}\). Số điểm cực trị của hàm số là
Câu 3 :
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ bên.
Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [-2;2]. Tính M + m.
Câu 4 :
Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây. Hỏi đồ thị của hàm số đã cho có bao nhiêu đường tiệm cận?
Câu 5 :
Đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 3x}}{{x - 2}}\) là:
Câu 6 :
Tọa độ tâm đối xứng của đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3x + 1\) là:
Câu 7 :
Cho ba vecto \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) không đồng phẳng. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
Câu 8 :
Hình bên là đồ thị của hàm số f’(x). Hỏi hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
Câu 9 :
Đường cong hình bên là đồ thị của hàm số \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\). Khẳng định nào sau đây đúng?
Câu 11 :
Cho tứ diện hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh bằng a và các cạnh bên đều bằng a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SD. Số đo góc (MN,SC) bằng
Câu 12 :
Cho hai vecto \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \ne 0\). Xác định góc giữa hai vecto \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) khi \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = - \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|\).
Phần II: Câu trắc nghiệm đúng sai.
Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
a) Đồ thị hàm số đã cho có một 1 cực trị
Đúng
Sai
b) Hàm số đã cho đồng biến trên R
Đúng
Sai
c) Điểm (1;2) là tâm đối xứng của đồ thị hàm số y = f(x)
Đúng
Sai
d) Đồ thị hàm số f(x) là \(y = {x^3} - 3{x^2} + 3x - 1\)
Đúng
Sai
a) Đồ thị hàm số f(x) có tiệm cận đứng x = 0
Đúng
Sai
b) Đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng
Đúng
Sai
c) Hàm số f(x) nghịch biến trên mỗi khoảng và
Đúng
Sai
d) Đồ thị hàm số f(x) có điểm cực đại (-3;-4) và điểm cực tiểu (1;4)
Đúng
Sai
a) \(\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {DA} = \overrightarrow 0 \)
Đúng
Sai
b) \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} = - \frac{{{a^2}}}{2}\)
Đúng
Sai
c) \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CD} \)
Đúng
Sai
d) \(AB \bot CD\)
Đúng
Sai
Câu 4 :
Trong không gian Oxyz, cho vecto \(\overrightarrow a = (2;3;1)\), \(\overrightarrow b = ( - 1;5;2)\), \(\overrightarrow c = (4; - 1;3)\) và \(\overrightarrow x = ( - 3;22;5)\). a) \(\left| {2\overrightarrow a } \right| = 14\)
Đúng
Sai
b) \(\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| = \sqrt {74} \)
Đúng
Sai
c) \(3\overrightarrow a - 2\overrightarrow c = ( - 2;11; - 3)\)
Đúng
Sai
d) \(\overrightarrow x = - 2\overrightarrow a - 3\overrightarrow b + \overrightarrow c \)
Đúng
Sai
Phần III: Câu trắc nghiệm trả lời ngắn.
Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Câu 1 :
Gọi giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \sqrt {1 - x} + \sqrt {1 + x} \) lần lượt là M, m. Tính \(M + 2{m^2}\). Đáp án:
Câu 2 :
Với giá trị nào của tham số m để đồ thị hàm số \(y = \frac{{m{x^2} - 4}}{{mx - 1}}\) có tiệm cận đứng đi qua điểm A(1;4)? Đáp án:
Câu 3 :
Trong không gian Oxyz, cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có A(1;0;1), B(2;1;2), D(1;-1;1), C’(4;5;-5). Tính tổng của hoành độ, tung độ, cao độ đỉnh A’. Đáp án:
Câu 4 :
Một chất điểm chuyển động theo quy luật \(s(t) = 6{t^2} - {t^3}\). Tính thời điểm t (giây) tại đó vận tốc v (m/s) của chuyển động tại giá trị lớn nhất. Đáp án:
Câu 5 :
Một khách sạn có 60 phòng. Chủ khách sạn nhận thấy nếu cho thuê mỗi phòng với giá 500 000 đồng/ngày thì tất cả các phòng đều được thuê hết và cứ tăng giá thêm 50 000 đồng một phòng thì có thêm 2 phòng trống. Hỏi chủ khách sạn nên cho thuê mỗi phòng với giá bao nhiêu tiền (đơn vị: nghìn đồng) một ngày để tổng doanh thu một ngày là lớn nhất. Đáp án:
Câu 6 :
Cho hàm số \(y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\) có đồ thị như hình. Biết a là số thực dương, hỏi trong các số a, c, d có tất cả bao nhiêu số dương?
Đáp án: Lời giải và đáp án
Phần I: Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn.
Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1 :
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R và có bảng biến thiên như hình vẽ. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Đáp án : B Phương pháp giải :
Quan sát bảng biến thiên và nhận xét. Lời giải chi tiết :
Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (-∞;-2) và (0;1); nghịch biến trên khoảng (-2;0) và (1;+∞).
Câu 2 :
Cho hàm số f(x) có đạo hàm \(f'(x) = x{(x + 1)^2}{(x - 2)^3}\), \(\forall x \in \mathbb{R}\). Số điểm cực trị của hàm số là
Đáp án : B Phương pháp giải :
\({x_0}\) là điểm cực trị của hàm số \(f(x)\) nếu \(f'({x_0}) = 0\) và \(f'({x_0})\) đổi dấu qua \({x_0}\). Lời giải chi tiết :
\(f'(x) = x{(x + 1)^2}{(x - 2)^3} = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{x = - 1}\\{x = 2}\end{array}} \right.\). \(f'(x)\) đổi dấu qua \(x = 0\), \(x = 2\). Vậy số điểm cực trị của hàm số là 2.
Câu 3 :
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ bên.
Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [-2;2]. Tính M + m.
Đáp án : B Phương pháp giải :
Quan sát đồ thị và nhận xét. Lời giải chi tiết :
Dựa vào đồ thị ta thấy: \(\mathop {\max }\limits_{[ - 2;2]} f(x) = f(2) = 0\), \(\mathop {\min }\limits_{[ - 2;2]} f(x) = f( - 1) = f(2) = - 2\). Vậy M + m = 0 + (-2) = -2.
Câu 4 :
Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây. Hỏi đồ thị của hàm số đã cho có bao nhiêu đường tiệm cận?
Đáp án : D Phương pháp giải :
Quan sát bảng biến thiên và nhận xét. Lời giải chi tiết :
Dựa vào bảng biến thiên ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = + \infty \) nên x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. Mặt khác: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = 1\), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = - 1\) nên y = 1, y = -1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. Vậy đồ thị có 3 tiệm cận.
Câu 5 :
Đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 3x}}{{x - 2}}\) là:
Đáp án : C Phương pháp giải :
Thực hiện phép chia đa thức (ở tử) cho đa thức (ở mẫu) ta được \(y = ax + b + \frac{M}{{cx + d}}\)(a≠0) với M là hằng số. Đường thẳng y = ax + b (a≠0) gọi là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = f(x) nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f(x) - (ax + b)} \right] = 0\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {f(x) - (ax + b)} \right] = 0\). Kết luận đường thẳng y = ax +b là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số. Lời giải chi tiết :
Ta có: \(y = y = \frac{{{x^2} + 3x}}{{x - 2}} = x + 5 + \frac{{10}}{{x - 2}} = f(x)\). Từ đó: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f(x) - \left( {x + 5} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{10}}{{x - 2}} = 0\). Vậy đường thẳng \(y = x + 5\) là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.
Câu 6 :
Tọa độ tâm đối xứng của đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3x + 1\) là:
Đáp án : D Phương pháp giải :
Tìm điểm thuộc đồ thị có hoành độ tại y’’=0. Lời giải chi tiết :
\(y' = 3{x^2} - 3\), \(y'' = 6x = 0 \Leftrightarrow x = 0\). Thay x = 0 vào hàm số, được y = 1.
Câu 7 :
Cho ba vecto \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) không đồng phẳng. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
Đáp án : D Phương pháp giải :
Dựa vào lý thuyết vecto cùng phương, vecto đồng phẳng. Lời giải chi tiết :
Câu D sai. Ví dụ phản chứng: 3 cạnh của hình chóp tam giác đồng quy tại 1 đỉnh nhưng chúng không đồng phẳng.
Câu 8 :
Hình bên là đồ thị của hàm số f’(x). Hỏi hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
Đáp án : A Phương pháp giải :
Quan sát đồ thị và nhận xét. Lời giải chi tiết :
Dựa vào đồ thị ta thấy \(f'(x) > 0,\forall x > 2\) nên y = f(x) đồng biến trên \((2; + \infty )\).
Câu 9 :
Đường cong hình bên là đồ thị của hàm số \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\). Khẳng định nào sau đây đúng?
Đáp án : B Phương pháp giải :
Dựa vào sự biến thiên và cực trị của hàm số để xét dấu. Lời giải chi tiết :
Dựa vào đồ thị ta thấy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty \) nên a > 0. Loại D. Đồ thị đi qua điểm (0;d) nên d > 0 (vì đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ dương). Hàm số đạt cực trị tại hai điểm \({x_1},{x_2}\). Dựa vào hình vẽ ta thấy \({x_1} < 0,x{}_2 > 0\) và \({x_1} + {x_2} > 0\). Mặt khác, \(y' = 3a{x^2} + 2bx + c \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} + {x_2} = \frac{{ - 2b}}{{3a}} > 0 \Rightarrow b < 0}\\{{x_1}{x_2} = \frac{c}{{3a}} < 0 \Rightarrow c < 0}\end{array}} \right.\)
Đáp án : C Phương pháp giải :
Dựa vào sự biến thiên, tiệm cận và các điểm hàm số đi qua để lập hệ phương trình tìm hệ số. Lời giải chi tiết :
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = -1 và tiệm cận ngang y = -2. Loại A và D. Xét hàm số \(y = \frac{{ - 2x - 4}}{{x + 1}}\) có \(y' = \frac{2}{{{{(x + 1)}^2}}} > 0\). Hàm số đồng biến trên các khoảng xác định của nó. Xét hàm số \(y = \frac{{ - 2x + 3}}{{x + 1}}\) có \(y' = \frac{{ - 5}}{{{{(x + 1)}^2}}} < 0\). Hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định của nó. Mà theo bảng biến thiên thì hàm số nghịch biến. Ta chọn hàm số \(y = \frac{{ - 2x + 3}}{{x + 1}}\).
Câu 11 :
Cho tứ diện hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh bằng a và các cạnh bên đều bằng a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SD. Số đo góc (MN,SC) bằng
Đáp án : C Phương pháp giải :
Tính góc thông qua tích vô hướng của 2 vecto. Lời giải chi tiết :
Ta có: \(AC = a\sqrt 2 \Rightarrow A{C^2} = 2{a^2} = {a^2} + {a^2} = S{A^2} + S{C^2}\). Suy ra \(\Delta SAC\) vuông tại S. Khi đó: \(\overrightarrow {NM} .\overrightarrow {SC} = \frac{1}{2}\overrightarrow {SA} .\overrightarrow {SC} = 0\). Suy ra \(\left( {\overrightarrow {NM} ,\overrightarrow {SC} } \right) = {90^o}\), tức \(\left( {MN,SC} \right) = {90^o}\).
Câu 12 :
Cho hai vecto \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \ne 0\). Xác định góc giữa hai vecto \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) khi \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = - \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|\).
Đáp án : A Phương pháp giải :
Sử dụng công thức tính tích góc giữa hai vecto. Lời giải chi tiết :
Ta có: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = - \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right| \Rightarrow \cos (\overrightarrow a ,\overrightarrow b ) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} = - 1 \Rightarrow (\overrightarrow a ,\overrightarrow b ) = {180^o}\).
Phần II: Câu trắc nghiệm đúng sai.
Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
a) Đồ thị hàm số đã cho có một 1 cực trị
Đúng
Sai
b) Hàm số đã cho đồng biến trên R
Đúng
Sai
c) Điểm (1;2) là tâm đối xứng của đồ thị hàm số y = f(x)
Đúng
Sai
d) Đồ thị hàm số f(x) là \(y = {x^3} - 3{x^2} + 3x - 1\)
Đúng
Sai
Đáp án
a) Đồ thị hàm số đã cho có một 1 cực trị
Đúng
Sai
b) Hàm số đã cho đồng biến trên R
Đúng
Sai
c) Điểm (1;2) là tâm đối xứng của đồ thị hàm số y = f(x)
Đúng
Sai
d) Đồ thị hàm số f(x) là \(y = {x^3} - 3{x^2} + 3x - 1\)
Đúng
Sai
Phương pháp giải :
Quan sát đồ thị và nhận xét. Lời giải chi tiết :
a) Sai. Hàm số f(x) không có cực trị. b) Đúng. Hàm số đã cho đồng biến trên R. c) Đúng. Điểm (1;2) là tâm đối xứng của đồ thị hàm số y = f(x) vì nó là điểm uốn của đồ thị. d) Sai. Đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 3x - 1\) cắt trục tung tại điểm (0;-1), còn đồ thị trên hình vẽ cắt trục tung tại điểm (0;1). a) Đồ thị hàm số f(x) có tiệm cận đứng x = 0
Đúng
Sai
b) Đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng
Đúng
Sai
c) Hàm số f(x) nghịch biến trên mỗi khoảng và
Đúng
Sai
d) Đồ thị hàm số f(x) có điểm cực đại (-3;-4) và điểm cực tiểu (1;4)
Đúng
Sai
Đáp án
a) Đồ thị hàm số f(x) có tiệm cận đứng x = 0
Đúng
Sai
b) Đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng
Đúng
Sai
c) Hàm số f(x) nghịch biến trên mỗi khoảng và
Đúng
Sai
d) Đồ thị hàm số f(x) có điểm cực đại (-3;-4) và điểm cực tiểu (1;4)
Đúng
Sai
Phương pháp giải :
Quan sát đồ thị và nhận xét. Lời giải chi tiết :
a) Sai. Đồ thị hàm số f(x) có tiệm cận đứng x = -1. b) Sai. Tâm đối xứng của đồ thị là điểm (-1;0). c) Sai. Hàm số f(x) đồng biến trên mỗi khoảng \(( - \infty ; - 3)\) và \((1; + \infty )\) d) Đúng. Đồ thị hàm số f(x) có điểm cực đại (-3;-4) và điểm cực tiểu (1;4) . a) \(\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {DA} = \overrightarrow 0 \)
Đúng
Sai
b) \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} = - \frac{{{a^2}}}{2}\)
Đúng
Sai
c) \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CD} \)
Đúng
Sai
d) \(AB \bot CD\)
Đúng
Sai
Đáp án
a) \(\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {DA} = \overrightarrow 0 \)
Đúng
Sai
b) \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} = - \frac{{{a^2}}}{2}\)
Đúng
Sai
c) \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CD} \)
Đúng
Sai
d) \(AB \bot CD\)
Đúng
Sai
Phương pháp giải :
Sử dụng quy tắc cộng vecto, lý thuyết các vecto bằng nhau, vecto đối nhau, công thức tính góc giữa hai vecto. Lời giải chi tiết :
a) Đúng. \(\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {DA} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DA} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CB} = \overrightarrow 0 \). b) Đúng. \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} = - \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} = - a.a.\cos {60^o} = - \frac{{{a^2}}}{2}\). c) Sai. \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} = a.a.\cos {60^o} = \frac{{{a^2}}}{2}\), \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CD} = - \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CD} = - a.a.\cos {60^o} = - \frac{{{a^2}}}{2}\). d) Đúng. Giả sử I là trung điểm của CD thì \(CD \bot (ABI)\), suy ra \(CD \bot AB\).
Câu 4 :
Trong không gian Oxyz, cho vecto \(\overrightarrow a = (2;3;1)\), \(\overrightarrow b = ( - 1;5;2)\), \(\overrightarrow c = (4; - 1;3)\) và \(\overrightarrow x = ( - 3;22;5)\). a) \(\left| {2\overrightarrow a } \right| = 14\)
Đúng
Sai
b) \(\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| = \sqrt {74} \)
Đúng
Sai
c) \(3\overrightarrow a - 2\overrightarrow c = ( - 2;11; - 3)\)
Đúng
Sai
d) \(\overrightarrow x = - 2\overrightarrow a - 3\overrightarrow b + \overrightarrow c \)
Đúng
Sai
Đáp án
a) \(\left| {2\overrightarrow a } \right| = 14\)
Đúng
Sai
b) \(\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| = \sqrt {74} \)
Đúng
Sai
c) \(3\overrightarrow a - 2\overrightarrow c = ( - 2;11; - 3)\)
Đúng
Sai
d) \(\overrightarrow x = - 2\overrightarrow a - 3\overrightarrow b + \overrightarrow c \)
Đúng
Sai
Phương pháp giải :
Sử dụng các quy tắc cộng vecto, công thức tính tích vô hướng của hai vecto, độ dài vecto. Lời giải chi tiết :
a) Sai. Vì \(\left| {2\overrightarrow a } \right| = \sqrt {{4^2} + {6^2} + {2^2}} = 2\sqrt {14} \). b) Đúng. Vì \(\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| = \sqrt {{1^2} + {8^2} + {3^2}} = \sqrt {74} \). c) Đúng. Vì \(3\overrightarrow a - 2\overrightarrow c = (6;9;3) - (8; - 2;6) = ( - 2;11; - 3)\) d) Sai. Đặt \(\overrightarrow x = m\overrightarrow a + n\overrightarrow b + p\overrightarrow c \) với \(m,n,p \in R\). Suy ra \(( - 3;22;5) = m(2;3;1) + n( - 1;5;2) + p(;4; - 1;3) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2m - n + 4p = - 3}\\{3m + 5n - p = 22}\\{m + 2n + 3p = 5}\end{array}} \right.\) Giải hệ trên ta được m = 2, n = 3, p = -1. Vậy \(\overrightarrow x = 2\overrightarrow a + 3\overrightarrow b - \overrightarrow c \).
Phần III: Câu trắc nghiệm trả lời ngắn.
Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Câu 1 :
Gọi giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \sqrt {1 - x} + \sqrt {1 + x} \) lần lượt là M, m. Tính \(M + 2{m^2}\). Đáp án: Đáp án
Đáp án: Phương pháp giải :
- Tính y’, tìm các nghiệm của y’ = 0. - Tìm giá trị y tại các điểm cực trị của hàm số và hai đầu mút của đoạn. Lời giải chi tiết :
Tập xác định: D = [-1;1]. Ta có: \(f'(x) = - \frac{1}{{2\sqrt {1 - x} }} + \frac{1}{{2\sqrt {1 + x} }} = - \frac{{\sqrt {1 + x} }}{{2\sqrt {1 - x} }} + \frac{{\sqrt {1 - x} }}{{2\sqrt {1 + x} }} = 0\) \( \Leftrightarrow \sqrt {1 - x} = \sqrt {1 + x} \Leftrightarrow x = 0\). \(f( - 1) = f(1) = \sqrt 2 \); f(0) = 2. Vậy \(M + 2{m^2} = 2 + 2.{\left( {\sqrt 2 } \right)^2} = 6\).
Câu 2 :
Với giá trị nào của tham số m để đồ thị hàm số \(y = \frac{{m{x^2} - 4}}{{mx - 1}}\) có tiệm cận đứng đi qua điểm A(1;4)? Đáp án: Đáp án
Đáp án: Phương pháp giải :
Sử dụng quy tắc tìm đường tiệm cận của hàm phân thức. Lời giải chi tiết :
Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là \(x = \frac{1}{m}\). Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đi qua điểm A(1;4) nên \(\frac{1}{m} = 1 \Leftrightarrow m = 1\). Thử lại thấy thỏa mãn.
Câu 3 :
Trong không gian Oxyz, cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có A(1;0;1), B(2;1;2), D(1;-1;1), C’(4;5;-5). Tính tổng của hoành độ, tung độ, cao độ đỉnh A’. Đáp án: Đáp án
Đáp án: Phương pháp giải :
Sử dụng quy tắc hình hộp. Lời giải chi tiết :
Theo quy tắc hình hộp, ta có: \(\overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC'} \), suy ra \(\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {AC'} - \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} \). Lại có: \(\overrightarrow {AC'} = (3;5; - 6)\), \(\overrightarrow {AB} = (1;1;1)\), \(\overrightarrow {AD} = (0; - 1;0)\). Do đó: \(\overrightarrow {AA'} = (2;5; - 7)\), suy ra \(A'(3;5; - 6)\). Tổng cần tìm là 3 + 5 + (-6) = 2.
Câu 4 :
Một chất điểm chuyển động theo quy luật \(s(t) = 6{t^2} - {t^3}\). Tính thời điểm t (giây) tại đó vận tốc v (m/s) của chuyển động tại giá trị lớn nhất. Đáp án: Đáp án
Đáp án: Phương pháp giải :
Lập bảng biến thiên và tìm giá trị lớn nhất của hàm số. Lời giải chi tiết :
Theo giả thiết: \(s(t) = 6{t^2} - {t^3}\), \(t \in (0; + \infty )\). Vận tốc của chuyển động là \(v(t) = s'(t) = 12t - 3{t^2}\). Ta có: \(v'(t) = 12 - 6t = 0 \Leftrightarrow t = 2\).
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy vận tốc đạt giá trị lớn nhất khi t = 2.
Câu 5 :
Một khách sạn có 60 phòng. Chủ khách sạn nhận thấy nếu cho thuê mỗi phòng với giá 500 000 đồng/ngày thì tất cả các phòng đều được thuê hết và cứ tăng giá thêm 50 000 đồng một phòng thì có thêm 2 phòng trống. Hỏi chủ khách sạn nên cho thuê mỗi phòng với giá bao nhiêu tiền (đơn vị: nghìn đồng) một ngày để tổng doanh thu một ngày là lớn nhất. Đáp án: Đáp án
Đáp án: Phương pháp giải :
Lập hàm số tính doanh thu một ngày của khách sạn và tìm giá trị lớn nhất. Lời giải chi tiết :
Gọi giá tiền chủ khách sạn cho thuê một phòng là x (\(x \ge 500\)). Vì cứ tăng giá thêm 50 000 đồng một phòng thì có thêm 2 phòng trống nên số phòng được thuê là: \(60 - \frac{{x - 500}}{{50}}.2 = 80 - \frac{x}{{25}}\). Khi đó, tổng doanh thu 1 ngày là \(x\left( {80 - \frac{x}{{25}}} \right) = 80x - \frac{{{x^2}}}{{25}} = f(x)\). Ta có \(f'(x) = 80 - \frac{{2x}}{{25}} = 0 \Leftrightarrow x = 1000\). Vì \(f(x)\) là tam thức bậc hai có hệ số cao nhất âm nên f(x) đạt giá trị lớn nhất tại x = 1000. Vậy để tổng doanh thu lớn nhất thì thì chủ khách sạn nên cho thuê phòng với giá 1000 nghìn đồng/ngày (tức 1 triệu đồng).
Câu 6 :
Cho hàm số \(y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\) có đồ thị như hình. Biết a là số thực dương, hỏi trong các số a, c, d có tất cả bao nhiêu số dương?
Đáp án: Đáp án
Đáp án: Phương pháp giải :
Quan sát đồ thị. Lời giải chi tiết :
Đường tiệm cận ngang của đồ thị là \(y = \frac{a}{c}\) cắt trục tung tại điểm có tung độ dương nên a.c > 0. Vì a > 0 nên c > 0. Đường tiệm cận đứng của đồ thị là \(x = \frac{{ - d}}{c}\) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ âm nên -d.c < 0 hay c.d > 0. Vì c > 0 nên d > 0. Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ âm nên \(\frac{b}{d} < 0\). Mà d > 0 nên b < 0. Vậy ta có a, c, d là các số dương.
|
