40 bài tập trắc nghiệm nhị thức Newton mức độ nhận biết, thông hiểuLàm bàiQuảng cáo
Câu hỏi 1 : Khai triển nhị thức \({\left( {x + 2} \right)^{n + 5}}\,\,\left( {n \in \mathbb{N}} \right)\) có tất cả \(2019\) số hạng. Tìm \(n\).
Đáp án: D Phương pháp giải: Khai triển nhị thức \({\left( {a + b} \right)^n}\,\,\left( {n \in \mathbb{N}} \right)\) có tất cả \(n + 1\) số hạng. Lời giải chi tiết: Khai triển nhị thức \({\left( {x + 2} \right)^{n + 5}}\,\,\left( {n \in \mathbb{N}} \right)\) có tất cả \(2019\) số hạng nên \(n + 5 = 2019 + 1 \Leftrightarrow n = 2015\). Chọn D. Câu hỏi 2 : Trong khai triển \({\left( {a + b} \right)^n},\)số hạng tổng quát của khai triển là :
Đáp án: D Phương pháp giải: Công thức tổng quát khai triển nhị thức Newton: \({\left( {a + b} \right)^n} = C_n^0{a^n}{b^0} + C_n^1{a^{n - 1}}{b^1} + ... + C_n^n{a^0}{b^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k} {a^{n - k}}{b^k}\) Lời giải chi tiết: Ta có: \({\left( {a + b} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{a^{n - k}}{b^k}} \Rightarrow \) số hạng tổng quát của khai triển là: \(C_n^k{a^{n - k}}{b^k}\) Chọn D Câu hỏi 3 : Hệ số của \({x^6}\) trong khai triển \({\left( {x + 1} \right)^{10}}\) là ?
Đáp án: A Phương pháp giải: Xác định qua công thức khai triển \({\left( {1 + x} \right)^{10}} = C_{10}^0{x^0} + C_{10}^1{x^1} + C_{10}^2{x^2} + .... = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k{x^k}.} \) Lời giải chi tiết: Công thức số hạng tổng quát: \(C_{10}^k{x^k}\left( {0 \le k \le 10} \right)\) Để có hệ số của \({x^6} \Rightarrow k = 6.\) Vậy hệ số của \({x^6}\) là \(C_{10}^6\). Chọn A. Câu hỏi 4 : Hệ số của \({x^5}\) trong khai triển \({\left( {2x + 3} \right)^8}\) là:
Đáp án: B Phương pháp giải: +) Dùng công thức khai triển tổng quát \({\left( {a + b} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{a^{n - k}}{b^k}.} \) Lời giải chi tiết: Ta có : \({\left( {2x + 3} \right)^8} = \sum\limits_{k = 0}^8 {\left[ {C_8^k{{\left( {2x} \right)}^k}{3^{8 - k}}} \right] = \sum\limits_{k = 0}^8 {C_8^k{2^k}{{.3}^{8 - k}}.{x^k}.} } \) Để có hệ số của \({x^5} \Rightarrow k = 5\) Vậy hệ số của \({x^5}\) là \(C_8^5{.2^5}{.3^3} = C_8^3{.2^5}{.3^3}\) Chọn B. Câu hỏi 5 : Khai triển nhị thức \({\left( {2x + y} \right)^5}\). Ta được kết quả là:
Đáp án: B Phương pháp giải: Kiến thức cần nhớ công thức tổng quát khai triển nhị thức Newton. \({\left( {a + b} \right)^n} = C_n^0{a^n}{b^0} + C_n^1{a^{n - 1}}{b^1} + ... + C_n^n{a^0}{b^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k} {a^{n - k}}{b^k}\) Lời giải chi tiết: Khai triển nhị thức: \(\begin{array}{l}{\left( {2x + y} \right)^5} = C_5^0.{\left( {2x} \right)^5} + C_5^1.{\left( {2x} \right)^4}.y + C_5^2.{\left( {2x} \right)^3}.{y^2} + C_5^3.{\left( {2x} \right)^2}.{y^3} + C_5^4.{\left( {2x} \right)^1}.{y^4} + C_5^5.{\left( {2x} \right)^0}.{y^5}\\ = 32{x^5} + 80{x^4}y + 80{x^3}{y^2} + 40{x^2}{y^3} + 10x{y^4} + {y^5}.\end{array}\) Chọn B. Câu hỏi 6 : Hệ số của \({x^7}\) trong khai triển của \({(3 - x)^9}\)là
Đáp án: C Phương pháp giải: Công thức tổng quát khai triển nhị thức Newton: \({\left( {a + b} \right)^n} = C_n^0{a^n}{b^0} + C_n^1{a^{n - 1}}{b^1} + ... + C_n^n{a^0}{b^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k} {a^{n - k}}{b^k}\) Lời giải chi tiết: Ta có khai triển :\({(3 - x)^9} = \sum\limits_{k = 0}^9 {C_9^k.} {3^{9 - k}}.{( - 1)^k}.{x^k}.\) Hệ số của \({x^7}\) trong khai triển khi \(k = 7\) là \(C_9^7{.3^2}.{\left( { - 1} \right)^7} = - 9.C_9^7.\) Chọn C Câu hỏi 7 : Tổng \(T = C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + C_n^3 + ... + C_n^n\) bằng
Đáp án: A Phương pháp giải: Kiến thức cần nhớ công thức tổng quát: \({\left( {a + b} \right)^n} = C_n^0{a^n}{b^0} + C_n^1{a^{n - 1}}{b^1} + ... + C_n^n{a^0}{b^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k} {a^{n - k}}{b^k}\) Khi các \(a = b = 1\) ta chỉ còn lại tổng các hệ số \({(1 + 1)^n} = C_n^0 + C_n^1 + ... + C_n^{n - 1} + C_n^n\) Lời giải chi tiết: Xét khai triển \({(x + 1)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k.{x^{n - k}} = C_n^0.{x^n} + } C_n^1.{x^{n - 1}} + ... + C_n^{n - 1}.x + C_n^n.\) Thay \(x = 1\) vào khai triển trên ta được: \({(1 + 1)^n} = C_n^0 + C_n^1 + ... + C_n^{n - 1} + C_n^n \Leftrightarrow C_n^0 + C_n^1 + ... + C_n^{n - 1} + C_n^n = {2^n}.\) Chọn A Câu hỏi 8 : Tìm hệ số của \({{x}^{7}}\) trong khai triển \(P\left( x \right)={{\left( x+1 \right)}^{20}}\)
Đáp án: A Phương pháp giải: Sử dụng khai triển nhị thức Newton: \({{\left( a+b \right)}^{n}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}{{a}^{n}}{{b}^{n-k}}}\) Lời giải chi tiết: \(P\left( x \right)={{\left( x+1 \right)}^{20}}=\sum\limits_{k=0}^{20}{C_{20}^{k}.{{x}^{k}}}\). Để tìm hệ số của \({{x}^{7}}\) ta cho \(k=7,\) khi đó hệ số của \({{x}^{7}}\) là \(C_{20}^{7}\). Chọn A. Câu hỏi 9 : Tìm hệ số của số hạng chứa \({{x}^{10}}\) trong khai triển của biểu thức \({{\left( 3{{x}^{3}}-\frac{2}{{{x}^{2}}} \right)}^{5}}.\)
Đáp án: A Phương pháp giải: Áp dụng công thức tổng quát của khai triển nhị thức Newton là \({{\left( a+b \right)}^{n}}=\sum\limits_{k\,=\,\,0}^{n}{C_{n}^{k}}.{{a}^{n\,-\,k}}.{{b}^{k}}\) Lời giải chi tiết: Xét khai triển \({{\left( 3{{x}^{3}}-\frac{2}{{{x}^{2}}} \right)}^{5}}=\sum\limits_{k\,=\,\,0}^{5}{C_{5}^{k}}.{{\left( 3{{x}^{3}} \right)}^{5\,-\,k}}.{{\left( -\frac{2}{{{x}^{2}}} \right)}^{k}}=\sum\limits_{k\,=\,\,0}^{5}{C_{5}^{k}}{{.3}^{5\,-\,k}}.{{\left( -\,2 \right)}^{k}}.{{x}^{15\,\,-\,\,5k}}.\) Hệ số của số hạng chứa \({{x}^{10}}\) ứng với \(15-5k=10\Leftrightarrow k=1.\) Vậy hệ số cần tìm là \(C_{5}^{1}{{.3}^{4}}.\left( -\,2 \right)=-\,810.\) Chọn A Câu hỏi 10 : Hệ số của \({{x}^{3}}\) trong khai triển \({{\left( x-2 \right)}^{8}}\) bằng
Đáp án: C Phương pháp giải: -Sử dụng khai triển nhị thức NewTon \({{\left( a-b \right)}^{n}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}{{a}^{n-k}}.{{\left( -b \right)}^{k}}}\) -Dựa vào điều kiện số mũ của đề bài để tìm ra \(k\) từ đó suy ra hệ số Lời giải chi tiết: Ta có \({{\left( x-2 \right)}^{8}}\)\(=\sum\limits_{k=0}^{8}{C_{8}^{k}{{x}^{8-k}}.{{\left( -2 \right)}^{k}}}\) Số hạng chứa \({{x}^{3}}\) trong khai triển ứng với \(8-k=3\Leftrightarrow k=5\) Vậy hệ số của \({{x}^{3}}\) trong khai triển là \(C_{8}^{5}.{{\left( -2 \right)}^{5}}=-C_{8}^{5}{{.2}^{5}}\). Chọn C Câu hỏi 11 : Tìm hệ số của \({{x}^{3}}\) trong khai triển \({{\left( 1-2x \right)}^{10}}\)
Đáp án: B Phương pháp giải: Sử dụng khai triển của nhị thức Newton: \({{\left( a+b \right)}^{n}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}{{a}^{k}}{{b}^{n-k}}}\) Lời giải chi tiết: \({{\left( 1-2x \right)}^{10}}=\sum\limits_{k=0}^{10}{C_{10}^{k}{{1}^{10-k}}{{\left( -2x \right)}^{k}}}=\sum\limits_{k=0}^{10}{C_{10}^{k}{{\left( -2 \right)}^{k}}{{x}^{k}}}\) Có hệ số của \({{x}^{3}}\Leftrightarrow k=3\Rightarrow \) Hệ số của \({{x}^{3}}\) là \(C_{10}^{3}{{\left( -2 \right)}^{3}}=-960\) Chọn B. Câu hỏi 12 : Số số hạng trong khai triển \({{\left( 2x+1 \right)}^{100}}\) là
Đáp án: D Phương pháp giải: Nhị thức \({{\left( a+b \right)}^{n}}\) có \(n+1\) số hạng Lời giải chi tiết: Khai triển nhị thức \({{\left( a+b \right)}^{n}}\) có \(n+1\) số hạng nên \({{\left( 2x+1 \right)}^{100}}\) có \(101\) số hạng. Chọn D Câu hỏi 13 : Số các số hạng trong khai triển \({\left( {3x - 4} \right)^9}\) là :
Đáp án: B Phương pháp giải: Sử dụng khai triển nhị thức Newton : \({\left( {a + b} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{a^k}{b^{n - k}}} \). Lời giải chi tiết: Ta có : \({\left( {3x - 4} \right)^9} = \sum\limits_{k = 0}^9 {C_9^k{{\left( {3x} \right)}^k}.{{\left( { - 4} \right)}^{9 - k}}} = \sum\limits_{k = 0}^9 {C_9^k{3^k}.{{\left( { - 4} \right)}^{9 - k}}.{x^k}} \). Do \(0 \le k \le 9;\,\,k \in Z \Rightarrow \) Khai triển trên có 10 số hạng. Chọn B. Câu hỏi 14 : Tìm hệ số của \({{x}^{10}}\)trong khai triển biểu thức \({{\left( 3{{x}^{3}}-\frac{2}{{{x}^{2}}} \right)}^{5}}\).
Đáp án: B Phương pháp giải: - Khai triển nhị thức Newton: \({{\left( x+y \right)}^{n}}=\sum\limits_{i=0}^{n}{C_{n}^{i}{{x}^{i}}{{y}^{n-i}}}\) Lời giải chi tiết: \({{\left( 3{{x}^{3}}-\frac{2}{{{x}^{2}}} \right)}^{5}}=\sum\limits_{i=0}^{5}{C_{5}^{i}{{\left( 3{{x}^{3}} \right)}^{i}}{{\left( -2{{x}^{-2}} \right)}^{5-i}}}=\sum\limits_{i=0}^{5}{C_{5}^{i}{{.3}^{i}}.{{(-2)}^{5-i}}.{{x}^{3i-10+2i}}}=\sum\limits_{i=0}^{5}{C_{5}^{i}{{.3}^{i}}.{{(-2)}^{5-i}}.{{x}^{5i-10}}}\) Ta có: \(5i-10=10\Leftrightarrow i=4\) Hệ số của \({{x}^{10}}\)trong khai triển biểu thức \({{\left( 3{{x}^{3}}-\frac{2}{{{x}^{2}}} \right)}^{5}}\) là: \(C_{5}^{4}{{.3}^{4}}.{{(-2)}^{5-4}}=-810\) Chọn: B. Câu hỏi 15 : Tìm số hạng không chứa \(x\) trong khai triển \({\left( {x{y^2} - {1 \over {xy}}} \right)^8}.\)
Đáp án: A Phương pháp giải: Sử dụng công thức tổng quát \({\left( {a + b} \right)^n} = \sum\limits_{k\, = \,0}^n {C_n^k} .{a^{n\, - \,k}}.{b^k}\,\,\buildrel {} \over \longrightarrow \) Tìm hệ số của số hạng cần tìm. Lời giải chi tiết: Theo khai triển nhị thức Newton, ta có \({\left( {x{y^2} - {1 \over {xy}}} \right)^8} = \sum\limits_{k\, = \,0}^8 {C_8^k} .{\left( {x{y^2}} \right)^{8 - k}}.{\left( { - {1 \over {xy}}} \right)^k} = \sum\limits_{k = 0}^8 {C_8^k} .{x^{8 - k}}.{y^{16 - 2k}}.{\left( { - 1} \right)^k}.{\left( {xy} \right)^{ - k}} = \sum\limits_{k = 0}^8 {C_8^k} .{\left( { - 1} \right)^k}.{x^{8 - 2k}}.{y^{16 - 3k}}.\) Số hạng không chứa \(x\) ứng với \(8 - 2k = 0 \Leftrightarrow k = 4\,\,\buildrel {} \over \longrightarrow \,\,\) Số hạng cần tìm là \(C_8^4.{\left( { - \,1} \right)^4}.{y^4} = 70{y^4}.\) Chọn A Câu hỏi 16 : Hệ số của số hạng chứa \({x^5}\) trong khai triển thành đa thức \({\left( {2 + x} \right)^{15}}\) là:
Đáp án: D Phương pháp giải: Sử dụng công thức khai triển của nhị thức Niu-ton: \({\left( {a + b} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{a^{n - k}}{b^k}.} \) Lời giải chi tiết: Ta có: \({\left( {2 + x} \right)^{15}} = \sum\limits_{k = 0}^{15} {C_{15}^k{2^{15 - k}}{x^k}} \) Để có hệ số của số hạng có chứa \({x^5}\) trong khai triển thì \(k = 5.\) \( \Rightarrow \) Hệ số của số hạng có chứa \({x^5}\) trong khai triển là: \({2^{10}}C_{15}^5.\) Chọn D. Câu hỏi 17 : Tìm số hạng không chứa \(x\) trong khai triển nhị thức Newtơn của \(P\left( x \right) = {\left( {{x^2} + \dfrac{1}{x}} \right)^{15}}\)
Đáp án: C Phương pháp giải: - Áp dụng khai triển hệ thức Niutơn: \({\left( {a + b} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k.{a^k}.{b^{n - k}}} \). - Số hạng không chứa x là số hạng ứng với số mũ của x bằng 0. Lời giải chi tiết: Ta có \(P\left( x \right) = {\left( {{x^2} + \dfrac{1}{x}} \right)^{15}} = \sum\limits_{k = 0}^{15} {C_{15}^k.{{\left( {\dfrac{1}{x}} \right)}^k}.{x^{2\left( {15 - k} \right)}}} \)\( = \sum\limits_{k = 0}^{15} {C_{15}^k.{x^{30 - 3k}}} \) Khi đó số hạng không chứa x tức là \(30 - 3k = 0 \Leftrightarrow k = 10.\) Vậy số hạng không chứa x trong khai triển trên là: \(C_{15}^{10} = 3003.\) Chọn C. Câu hỏi 18 : Tổng các hệ số của tất cả các số hạng trong khai triển nhị thức \({\left( {x - 2y} \right)^{2020}}\) là:
Đáp án: D Phương pháp giải: Muốn tính tổng hệ số của tất của các số hạng trong khai triển nhị thức \({\left( {ax + by} \right)^n}\) ta cho \(x = y = 1\). Lời giải chi tiết: Thay \(x = y = 1\) có \({\left( {1 - 2.1} \right)^{2020}} = {\left( { - 1} \right)^{2020}} = 1\). Vậy tổng các hệ số của tất cả các số hạng trong khai triển nhị thức \({\left( {x - 2y} \right)^{2020}}\) bằng 1. Chọn D Câu hỏi 19 : Tìm hệ số của số hạng chứa \({x^7}\) trong khai triển nhị thức \({\left( {x + \dfrac{1}{x}} \right)^{13}}\).
Đáp án: D Phương pháp giải: Áp dụng công thức khai triển nhị thức Newton: \({(x + y)^n} = \sum\limits_{i = 0}^n {C_n^i{x^i}.{y^{n - i}}} \). Lời giải chi tiết: \({\left( {x + \dfrac{1}{x}} \right)^{13}} = \sum\limits_{i = 0}^{13} {C_{13}^i{x^i}.{{\left( {\dfrac{1}{x}} \right)}^{13 - i}}} = \sum\limits_{i = 0}^{13} {C_{13}^i{x^i}.{x^{ - \left( {13 - i} \right)}}} = \sum\limits_{i = 0}^{13} {C_{13}^i{x^{2i - 13}}} \) Số hạng chứa \({x^7}\) trong khai triểnứng với \(i\) thỏa mãn \(2i - 13 = 7 \Leftrightarrow i = 10\) Vậy hệ số của số hạng chứa \({x^7}\) là: \(C_{13}^{10} = 286\). Chọn D. Câu hỏi 20 : Hệ số của \({x^6}\) trong khai triển \({\left( {2\,x + 1} \right)^{10}}\) thành đa thức là
Đáp án: C Phương pháp giải: Sử dụng công thức khai triển của nhị thức Niu-ton: \({\left( {a + b} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{a^{n - k}}{b^k}.} \) Lời giải chi tiết: Ta có: \({\left( {2x + 1} \right)^{10}} = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k{{\left( {2x} \right)}^k}{1^{10 - k}} = \sum\limits_{k = 0}^{10} {{2^k}C_{10}^k{x^k}.} } \) Để có hệ số của \({x^6}\) trong khai triển \( \Leftrightarrow k = 6.\) \( \Rightarrow \) Hệ số của \({x^6}\) trong khai triển đã cho là: \({2^6}C_{10}^6.\) Chọn C. Câu hỏi 21 : Hệ số chứa \({x^6}\) trong khai triển \({\left( {3{x^3} - \dfrac{1}{x}} \right)^{10}}\) là.
Đáp án: A Phương pháp giải: - Áp dụng nhị thức Niu-tơn để khai triển biểu thức: \({\left( {a + b} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{a^{n - k}}{b^k}} \). - Tính \(k\)ứng với hệ số của \({x^6}\). Từ đó tìm hệ số của \({x^6}\). Lời giải chi tiết: Ta có \({\left( {3{x^3} - \dfrac{1}{x}} \right)^{10}} = \sum\limits_{k \to 0}^{10} {C_{10}^k{{.3}^k}.{x^{3k}}.\dfrac{{{{\left( { - 1} \right)}^{10 - k}}}}{{{x^{10 - k}}}}} = \sum\limits_{k \to 0}^{10} {C_{10}^k.{{\left( { - 1} \right)}^{10 - k}}{{.3}^k}.{x^{4k - 10}}} \) Hệ số của \({x^6}\) ứng với \(4k - 10 = 6 \Leftrightarrow k = 4.\) Do đó hệ số của \({x^6}\) là \(C_{10}^4.{\left( { - 1} \right)^{10 - 4}}{.3^4} = 17010.\) Chọn A. Câu hỏi 22 : Tính tổng \(S = C_n^0 + 3C_n^1 + {3^2}C_n^2 + ... + {3^n}C_n^n\)
Đáp án: D Phương pháp giải: Lời giải chi tiết: \(S = C_n^0 + 3C_n^1 + {3^2}C_n^2 + ... + {3^n}C_n^n\) \( + )\)Xét khai triển: \({\left( {x + 3} \right)^n} = C_n^0.{x^n}{.3^0} + C_n^1.{x^{n - 1}}{.3^1} + C_n^2.{x^{n - 2}}{.3^2} + ... + C_n^n.{x^0}{.3^n}\) \( + )\)Thay \(x = 1\) vào hai vế:\({4^n} = C_n^0 + C_n^1{.3^1} + C_n^2{.3^2} + ... + C_n^n{.3^n}\)\( \Leftrightarrow S = {4^n}\) Chọn D. Câu hỏi 23 : Tìm số tự nhiên \(n\), biết \({3^n}C_n^0 - {3^{n - 1}}C_n^1 + {3^{n - 2}}C_n^2 - {3^{n - 3}}C_n^3 + ... + {\left( { - 1} \right)^n}C_n^n = 2048.\)
Đáp án: C Phương pháp giải: Lời giải chi tiết: Hướng dẫn giải \({3^n}.C_n^0 - {3^{n - 1}}.C_n^1 + {3^{n - 2}}.C_n^2 - {3^{n - 3}}.C_n^3 + ... + {\left( { - 1} \right)^n}.C_n^n = 2048\) \(\left( * \right)\) \( + )\)Xét khai triển: \({\left( {x - 1} \right)^n} = C_n^0.{x^n}.{\left( { - 1} \right)^0} + C_n^1.{x^{n - 1}}.{\left( { - 1} \right)^1} + C_n^2.{x^{n - 2}}.{\left( { - 1} \right)^2} + ... + C_n^n.{x^0}.{\left( { - 1} \right)^n}\) \( + )\)Thay \(x = 3\)vào 2 vế\( \Rightarrow \)\({\left( {3 - 1} \right)^n} = C_n^0{.3^n} - C_n^1{.3^{n - 1}} + ... + C_n^n{.3^0}.{\left( { - 1} \right)^n}\) \( \Leftrightarrow \)\({2^n} = 2048\)\( \Rightarrow \)\(n = 11\) Chọn C Câu hỏi 24 : Khai triển đa thức \(P\left( x \right) = {\left( {2x - 1} \right)^{1000}}\) ta được \(P\left( x \right) = {a_{1000}}{x^{1000}} + {a_{999}}{x^{999}} + ... + {a_1}x + {a_0}\). Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Đáp án: D Phương pháp giải: Lời giải chi tiết: \( + )\)Thay \(x = 1\) vào \(P\left( x \right)\) có: \(P\left( 1 \right) = {\left( {2 - 1} \right)^{1000}} = {1^{1000}} = 1\)\(\left( 1 \right)\) \( + )\)Thay \(x = 1\) vào khai triển \(P\left( x \right)\) có: \(P\left( 1 \right) = {a_{1000}} + {a_{999}} + ... + {a_1} + {a_0}\) \(\left( 2 \right)\) Từ \(\left( 1 \right)\)và \(\left( 2 \right)\)\( \Rightarrow \)\({a_{1000}} + {a_{999}} + ... + {a_1} + {a_0} = 1\)\( \Leftrightarrow {a_{1000}} + {a_{999}} + ... + {a_1} = 1 - {a_0}\)(*) \( + )\)\({a_0}\) là hệ số của \({x^0}\) : Số hạng tổng quát của \(P\left( x \right)\)là: \({T_{k + 1}} = C_{1000}^k.{\left( {2x} \right)^{1000 - k}}.{\left( { - 1} \right)^k}\)\( = C_{1000}^k{.2^{1000 - k}}.{\left( { - 1} \right)^k}.{x^{1000 - k}}\) + Số hạng chứa \({x^0}\)\( \Rightarrow {x^0} = {x^{1000 - k}}\)\( \Leftrightarrow k = 1000\) Khi đó hệ số của số hạng chứa \({x^0}\)là: \({a_0} = C_{1000}^{1000}{.2^{1000 - 1000}}.{\left( { - 1} \right)^{1000}} = 1\) (*) \( \Rightarrow {a_{1000}} + {a_{999}} + ... + {a_1} = 1 - 1 = 0\) Chọn D. Câu hỏi 25 : Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Đáp án: B Phương pháp giải: Lời giải chi tiết: \( + )\)Xét đáp án C: Vì \(C_n^k = C_n^{n - k}\)\( \Rightarrow C_{2n}^{n + 1} = C_{2n}^{2n - n - 1} = C_{2n}^{n - 1}\) .... Chứng minh các số hạng còn lại ở 2 vế tương tự như trên .... \(C_{2n}^{2n} = C_{2n}^{2n - 2n} = C_{2n}^0\) \( \Rightarrow C_{2n}^{n + 1} + C_{2n}^{n + 2} + ... + C_{2n}^{2n} = C_{2n}^{n - 1} + C_{2n}^{n - 2} + ... + C_{2n}^0\) Chọn B. Câu hỏi 26 : Tính tổng \(S = C_n^0 + C_n^1 + ... + C_n^n\)
Đáp án: B Phương pháp giải: Lời giải chi tiết: \( + )\)Xét khai triển: \({\left( {x + 1} \right)^n} = C_n^0.{x^n}{.1^0} + C_n^1.{x^{n - 1}}{.1^1} + C_n^2.{x^{n - 2}}{.1^2} + ... + C_n^n.{x^0}{.1^n}\) \( + )\)Thay \(x = 1\) vào 2 vế, ta có: \({\left( {1 + 1} \right)^n} = C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + ... + C_n^n\)\( \Leftrightarrow {2^n} = S\) Chọn B. Câu hỏi 27 : Tính tổng \(S = C_{2n}^0 + C_{2n}^1 + ... + C_{2n}^{2n}\)
Đáp án: A Phương pháp giải: Lời giải chi tiết: \(S = C_{2n}^0 + C_{2n}^1 + ... + C_{2n}^{2n}\) Xét: \({\left( {x + 1} \right)^{2n}} = C_{2n}^0.{x^{2n}}{.1^0} + C_{2n}^1.{x^{2n - 1}}{.1^1} + ... + C_{2n}^{2n}.{x^0}{.1^{2n}}\) \( + )\)Thay \(x = 1\) vào 2 vế, ta có: \({\left( {1 + 1} \right)^{2n}} = C_{2n}^0 + C_{2n}^1 + ... + C_{2n}^{2n}\)\( \Leftrightarrow {2^{2n}} = S\) Chọn A. Câu hỏi 28 : Tìm số hạng không chứa x trong khai triển \({\left( {{x^2} + \dfrac{2}{x}} \right)^6}\)
Đáp án: A Phương pháp giải: Lời giải chi tiết: + Số hạng tổng quát của \({\left( {{x^2} + \dfrac{2}{x}} \right)^6}\) là: \(T_{k + 1}^{} = C_6^k.{({x^2})^{6 - k}}{\left( {\dfrac{2}{x}} \right)^k} = C_6^k.{x^{12 - 3k}}{.2^k}\) + Số hạng không chứa x ứng với: \({x^{12 - 3k}} = {x^0} \Rightarrow k = 4\) + Vậy số hạng không chứa x là: \(C_6^4{.1.2^4}\) Chọn A. Câu hỏi 29 : Số hạng không chứa x trong khai triển của \({\left( {x - \dfrac{1}{{{x^3}}}} \right)^8}\) là:
Đáp án: B Phương pháp giải: Lời giải chi tiết: + Số hạng tổng quát của \({\left( {x - \dfrac{1}{{{x^3}}}} \right)^8}\)là: \(T_{k + 1}^{} = C_8^k.{x^{8 - k}}{\left( {\dfrac{{ - 1}}{{{x^3}}}} \right)^k} = C_6^k.{x^{8 - 4k}}.{\left( { - 1} \right)^k}\) + Số hạng không chứa x ứng với: \({x^{8 - 4k}} = {x^0} \Rightarrow k = 2\) + Vậy Số hạng không chứa x là: \(C_8^2.{\left( { - 1} \right)^2} = 28\) Chọn B. Câu hỏi 30 : Tìm số hạng không chứa x trong khai triển \({\left( {x{y^2} - \dfrac{1}{{xy}}} \right)^8}\)
Đáp án: A Phương pháp giải: Lời giải chi tiết: + Số hạng tổng quát của \({\left( {x{y^2} - \dfrac{1}{{xy}}} \right)^8}\)là: \(T_{k + 1}^{} = C_8^k.{(x{y^2})^{8 - k}}{\left( {\dfrac{{ - 1}}{{xy}}} \right)^k} = C_6^k.{\left( { - 1} \right)^k}.{x^{8 - 2k}}.{y^{16 - 3k}}\) +Số hạng không chứa x ứng với: \({x^{8 - 2k}} = {x^0} \Rightarrow k = 4\) +Số hạng không chứa x là: \(C_8^4.{\left( { - 1} \right)^4}.{x^0}.{y^{16 - 3.4}} = 70{y^4}\) Chọn A. Câu hỏi 31 : Tính tổng \(S\) tất cả các hệ số trong khai triển \({\left( {3x - 4} \right)^{17}}\).
Đáp án: B Phương pháp giải: Lời giải chi tiết: Xét khai triển: \({\left( {3x - 4} \right)^{17}} = C_{17}^0.{\left( {3x} \right)^{17}}.{\left( { - 4} \right)^0} + C_{17}^1.{\left( {3x} \right)^{16}}.{\left( { - 4} \right)^1} + C_{17}^2.{\left( {3x} \right)^{15}}.{\left( { - 4} \right)^2} + ... + C_{17}^{17}.{\left( {3x} \right)^0}.{\left( { - 4} \right)^{17}}\) \( \Leftrightarrow {\left( {3x - 4} \right)^{17}} = C_{17}^0{.3^{17}}.{\left( { - 4} \right)^0}.{x^{17}} + C_{17}^1{.3^{16}}.{\left( { - 4} \right)^1}.{x^{16}} + ... + C_{17}^{17}{.3^0}.{\left( { - 4} \right)^{17}}.{x^0}\) Thay \(x = 1\) vào, ta có: \({\left( {3.1 - 4} \right)^{17}} = C_{17}^0{.3^{17}}.{\left( { - 4} \right)^0} + C_{17}^1{.3^{16}}.{\left( { - 4} \right)^1} + ... + C_{17}^{17}{.3^0}.{\left( { - 4} \right)^{17}}\) \( \Leftrightarrow - 1 = S\)\( \Leftrightarrow S = - 1\) Chọn B. Câu hỏi 32 : Tính tổng \(C_n^0 - 2C_n^1 + {2^2}C_n^2 - ... + {\left( { - 1} \right)^n}{2^n}C_n^n\)
Đáp án: C Phương pháp giải: Lời giải chi tiết: \(C_n^0 - 2C_n^1 + {2^2}C_n^2 - ... + {\left( { - 1} \right)^n}{.2^n}.C_n^n\) \( + )\) Xét: \({\left( {x - 2} \right)^n} = C_n^0.{x^n}.{\left( { - 2} \right)^0} + C_n^1.{x^{n - 1}}.{\left( { - 2} \right)^1} + C_n^2.{x^{n - 2}}.{\left( { - 2} \right)^2} + ... + C_n^n.{x^0}.{\left( { - 2} \right)^n}\) \( + )\)Thay \(x = 1\) vào cả 2 vế: \({\left( {1 - 2} \right)^n} = C_n^0 - 2C_n^1 + {2^2}.C_n^2 - ... + {\left( { - 1} \right)^n}{.2^n}.C_n^n\)\( \Leftrightarrow S = {\left( { - 1} \right)^n}\) Chọn C. Câu hỏi 33 : Tìm hệ số của \({x^4}\) trong khai triển của biểu thức \(P\left( x \right) = {\left( {x - \dfrac{2}{{{x^2}}}} \right)^{10}}\).
Đáp án: D Phương pháp giải: - Sử dụng khai triển nhị thức Niu-ton: \({\left( {a + b} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{a^{n - k}}{b^k}} .\) - Tìm \(k\) ứng với hệ số của \({x^4}\). Lời giải chi tiết: Ta có: \(P\left( x \right) = {\left( {x - \dfrac{2}{{{x^2}}}} \right)^{10}} = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k.{x^{10 - k}}.{{\left( {\dfrac{{ - 2}}{{{x^2}}}} \right)}^k}} = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k.{{\left( { - 2} \right)}^k}.{x^{10 - 3k}}} \) Hệ số của \({x^4}\) trong khai triển ứng với \(10 - 3k = 4 \Leftrightarrow k = 2.\) Vậy hệ số của \({x^4}\) trong khai triển là: \(C_{10}^2.{\left( { - 2} \right)^2} = 180.\) Chọn D. Câu hỏi 34 : Tìm hệ số của số hạng chứa \({x^7}\) trong khai triển \({\left( {1 - x} \right)^{12}}\).
Đáp án: B Phương pháp giải: Lời giải chi tiết: Số hạng tổng quát trong khai triển của \({\left( {1 - x} \right)^{12}}\)là: \({T_{k + 1}} = C_{12}^k{.1^{12 - k}}{\left( { - x} \right)^k}\) + Số hạng chứa \({x^7}\)\( \Rightarrow {x^k} = {x^7} \Rightarrow k = 7\) + Hệ số của số hạng chứa \({x^7}\) là: \(C_{12}^7{.1^5}{\left( { - 1} \right)^7} = - 792\) Chọn B. Câu hỏi 35 : Tìm hệ số của \({x^{12}}\) trong khai triển \({\left( {2x + {x^2}} \right)^{10}}\)
Đáp án: B Phương pháp giải: Lời giải chi tiết: Số hạng tổng quát trong khai triển của \({\left( {2x + {x^2}} \right)^{10}}\) là: \({T_{k + 1}} = C_{10}^k.{\left( {2x} \right)^{10 - k}}{\left( {{x^2}} \right)^k} = C_{10}^k{.2^{10 - k}}.{x^{10 + k}}\) + Số hạng chứa \({x^{12}}\)\( \Rightarrow {x^{10 + k}} = {x^{12}} \Rightarrow k = 2\) + Hệ số của số hạng chứa \({x^{12}}\) là: \(C_{10}^2{.2^8}\) Chọn B. Câu hỏi 36 : Đa thức \(P\left( x \right) = 32{x^5} - 80{x^4} + 80{{\rm{x}}^3} - 40{{\rm{x}}^2} + 10x - 1\) là khai triển của nhị thức nào dưới đây?
Đáp án: C Phương pháp giải: Lời giải chi tiết: \(P\left( x \right) = 32{x^5} - 80{x^4} + 80{x^3} - 40{x^2} + 10x - 1\) Xét đáp án C: \(\begin{array}{l}{\left( {2x - 1} \right)^5} = C_5^0{\left( {2x} \right)^5}{\left( { - 1} \right)^0} + C_5^1{\left( {2x} \right)^4}{\left( { - 1} \right)^1} + C_5^2{\left( {2x} \right)^3}{\left( { - 1} \right)^2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + C_5^3{\left( {2x} \right)^2}{\left( { - 1} \right)^3} + C_5^4{\left( {2x} \right)^1}{\left( { - 1} \right)^4} + C_5^5{\left( {2x} \right)^0}{\left( { - 1} \right)^5}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 32{x^5} - 80{x^4} + 80{x^3} - 40{x^2} + 10x - 1\end{array}\) Chọn C. Câu hỏi 37 : Số hạng không chứa \(x\) trong khai triển \({\left( {2{x^2} - \dfrac{3}{{\sqrt x }}} \right)^{20}}\) là:
Đáp án: B Phương pháp giải: Sử dụng công thức số hạng tổng quát \({T_{k + 1}} = C_n^k{a^{n - k}}{b^k}\). Lời giải chi tiết: Số hạng tổng quát \({T_{k + 1}} = C_{20}^k{\left( {2{x^2}} \right)^{20 - k}}.{\left( { - \dfrac{3}{{\sqrt x }}} \right)^k}\) \( = C_{20}^k{.2^{20 - k}}.{\left( { - 3} \right)^k}.{x^{40 - 2k - \dfrac{k}{2}}}\) \( = C_{20}^k{.2^{20 - k}}.{\left( { - 3} \right)^k}.{x^{40 - \dfrac{{5k}}{2}}}\) Số hạng không chứa \(x\) ứng với \(40 - \dfrac{{5k}}{2} = 0 \Leftrightarrow k = 16\) Vậy số hạng không chứa \(x\) là \(C_{20}^{16}{.2^4}.{\left( { - 3} \right)^{16}} = 16C_{20}^{16}{.3^{16}}\). Chọn B. Câu hỏi 38 : Tìm số hạng không chứa \(x\) trong khai triển \({\left( {x - \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right)^{45}}\).
Đáp án: C Phương pháp giải: Sử dụng khai triển nhị thức Niu-tơn: \({\left( {a + b} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{a^{n - k}}{b^k}} \). Lời giải chi tiết: \({\left( {x - \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right)^{45}} = \sum\limits_{k = 0}^{45} {C_{45}^k{x^{45 - k}}{{\left( { - \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right)}^k}} \)\( = \sum\limits_{k = 0}^{45} {C_{45}^k{{\left( { - 1} \right)}^k}{x^{45 - 3k}}} \) Số hạng không chứa \(x\) trong khai triển trên ứng với \(45 - 3k = 0 \Leftrightarrow k = 15\). Vậy số hạng không chứa \(x\) trong khai triển trên là \(C_{45}^{15}{\left( { - 1} \right)^{15}} = - C_{45}^{15}\). Chọn C. Câu hỏi 39 : Tìm số hạng không chứa \(x\) trong khai triển của biểu thức \({\left( {x\sqrt x + \frac{1}{{{x^4}}}} \right)^{11}}\) với \(x > 0\).
Đáp án: D Phương pháp giải: Sử dụng khai triển nhị thức Niuton: \({\left( {a + b} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{a^k}{b^{n - k}}} \). Lời giải chi tiết: Ta có: \(\begin{array}{l}{\left( {x\sqrt x + \frac{1}{{{x^4}}}} \right)^{11}} = {\left( {{x^{\frac{3}{2}}} + {x^{ - 4}}} \right)^{11}}\,\,\left( {0 \le k \le 11,\,\,k \in \mathbb{N}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \sum\limits_{k = 0}^{11} {C_{11}^k{{\left( {{x^{\frac{3}{2}}}} \right)}^{11 - k}}{{\left( {{x^{ - 4}}} \right)}^k}} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \sum\limits_{k = 0}^{11} {C_{11}^k{x^{\frac{{33 - 3k}}{2}}}{x^{ - 4k}}} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \sum\limits_{k = 0}^{11} {C_{11}^k{x^{\frac{{33 - 11k}}{2}}}} \end{array}\) Số hạng không chứa \(x\) trong khai triển ứng với \(\frac{{33 - 11k}}{2} = 0 \Leftrightarrow k = 3\). Vậy số hạng không chứa \(x\) trong khai triển trên là \(C_{11}^3 = 165\). Chọn D. Câu hỏi 40 : Số hạng chứa \({x^3}\) trong khai triển \({\left( {x + \dfrac{1}{{2x}}} \right)^9}\) với \(x \ne 0\) là :
Đáp án: B Phương pháp giải: Sử dụng công thức tính số hạng tổng quát \({T_{k + 1}} = C_n^k{a^{n - k}}{b^k}\) Lời giải chi tiết: Số hạng tổng quát \({T_{k + 1}} = C_9^k{x^{9 - k}}{\left( {\dfrac{1}{{2x}}} \right)^k}\)\( = C_9^2.\dfrac{1}{{{2^k}}}.{x^{9 - 2k}}\). Số hạng chứa \({x^3}\) ứng với \(9 - 2k = 3 \Leftrightarrow k = 3\). Vậy số hạng chứa \({x^3}\) là \(C_9^3.\dfrac{1}{{{2^3}}}.{x^3} = \dfrac{1}{8}C_9^3{x^3}\). Chọn B. Quảng cáo
|