30 bài tập trắc nghiệm nhị thức Newton mức độ vận dụng, vận dụng caoLàm bàiQuảng cáo
Câu hỏi 1 : Số hạng không chứa \(x\) trong khai triển \({\left( {x + \dfrac{2}{x}} \right)^{10}}\) là
Đáp án: B Phương pháp giải: Áp dụng Công thức khai triển nhị thức Newton: \({\left( {x + y} \right)^n} = \sum\limits_{i = 0}^n {C_n^i{x^i}.{y^{n - i}}} \). Lời giải chi tiết: \({\left( {x + \dfrac{2}{x}} \right)^{10}} = \sum\limits_{i = o}^{10} {C_{10}^i{x^{10 - i}}{{\left( {2{x^{ - 1}}} \right)}^i}} = \sum\limits_{i = o}^{10} {C_{10}^i{2^i}{x^{10 - 2i}}} \) Số hạng không chứa \(x\) trong khai triển ứng với i thỏa mãn \(10 - 2i = 0 \Leftrightarrow i = 5.\) Vậy số hạng không chứa \(x\) trong khai triển trên là: \(C_{10}^5{2^5}\). Chọn: B. Câu hỏi 2 : Tìm hệ số của số hạng chứa \({x^6}\) trong khai triển của biểu thức \({\left( {x - 4{x^{\dfrac{1}{2}}}} \right)^n}\) với \(x \ge 0\) và biết rằng \(C_n^0 + 3C_n^1 + {3^2}C_n^2 + ... + {3^n} = 65536\) với \(n \in \mathbb{N}.\)
Đáp án: A Phương pháp giải: Lời giải chi tiết: \( + )\)Xét: \({\left( {x + 3} \right)^n} = C_n^0.{x^n}{.3^0} + C_n^1.{x^{n - 1}}{.3^1} + ... + C_n^n.{x^0}{.3^n}\) \( + )\)Thay \(x = 1\)\( \Leftrightarrow {\left( {1 + 3} \right)^n} = C_n^0 + 3C_n^1 + ... + {3^n}\) \( \Leftrightarrow {4^n} = 65536\)\( \Leftrightarrow {4^n} = {4^8}\)\( \Leftrightarrow n = 8\) \( \Rightarrow \) Biều thức là \({\left( {x - 4.{x^{\dfrac{1}{2}}}} \right)^8}\) \( + )\)Số hạng tổng quát của biểu thức \({\left( {x - 4.{x^{\dfrac{1}{2}}}} \right)^8}\)là: \({T_{k + 1}} = C_8^k.{x^{8 - k}}.{\left( { - 4{x^{\dfrac{1}{2}}}} \right)^k}\)\( = C_8^k.{x^{8 - k}}.{\left( { - 4} \right)^k}.{x^{\dfrac{1}{2}k}}\)\( = C_8^k{\left( { - 4} \right)^k}.{x^{8 - \dfrac{1}{2}k}}\) Số hạng chứa \({x^6}\)\( \Rightarrow {x^{8 - \dfrac{1}{2}k}} = {x^6}\)\( \Leftrightarrow 8 - \dfrac{1}{2}k = 6\)\( \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}k = 2\)\( \Leftrightarrow k = 4\) \( \Rightarrow \)Hệ số của số hạng chứa \({x^6}\) là:\(C_8^4.{\left( { - 4} \right)^4} = 17920\). Chọn A. Câu hỏi 3 : Cho \(n\) là số nguyên dương thỏa mãn \(C_n^0 + 2C_n^1 + {2^2}C_n^2... + {2^n}C_n^n = 14348907.\) Hệ số có số hạng chứa \({x^{10}}\) trong khai triển của biểu thức \({\left( {{x^2} - \dfrac{1}{{{x^3}}}} \right)^n}\) bằng
Đáp án: C Phương pháp giải: Lời giải chi tiết: \( + )\)\(C_n^0 + 2C_n^1 + {2^2}C_n^2 + ... + {2^n}C_n^n = 14348907\) Xét: \({\left( {1 + x} \right)^n} = C_n^0 + C_n^1.x + ... + C_n^n.{x^n}\) Thay \(x = 2\)\( \Rightarrow \)\({\left( {1 + 2} \right)^n} = C_n^0 + C_n^1.2 + ... + C_n^n{.2^n}\)\( \Leftrightarrow {3^n} = 14348907\)\( \Leftrightarrow n = 15\) \( + )\)Số hạng tổng quát của khai triển: \({\left( {{x^2} - \dfrac{1}{{{x^3}}}} \right)^{15}}\)là: \({T_{k + 1}} = C_{15}^k.{\left( {{x^2}} \right)^{15 - k}}.{\left( { - 1} \right)^k}.{\left( {{x^{ - 3}}} \right)^k}\)\( = C_{15}^k.{\left( { - 1} \right)^k}.{x^{30 - 5k}}\) Số hạng chứa \({x^{10}}\)\( \Rightarrow {x^{30 - 5k}} = {x^{10}}\)\( \Leftrightarrow k = 4\) \( \Rightarrow \)Hệ số của số hạng chứa \({x^{10}}\)là: \(C_{15}^4.{\left( { - 1} \right)^4} = 1365\). Chọn C. Câu hỏi 4 : Tính giá trị của biểu thức \(M = {2^{2016}}C_{2017}^1 + {2^{2014}}C_{2017}^3 + {2^{2012}}C_{2017}^5 + ... + {2^0}C_{2017}^{2017}\)
Đáp án: D Phương pháp giải: Lời giải chi tiết: \(M = {2^{2016}}.C_{2017}^1 + {2^{2014}}.C_{2017}^3 + ... + {2^0}.C_{2017}^{2017}\) \( + )\)Xét khai triển: \({\left( {2 + x} \right)^{2017}} = C_{2017}^0{.2^{2017}}.{x^0} + C_{2017}^1{.2^{2016}}.{x^1} + C_{2017}^2{.2^{2015}}.{x^2} + ... + C_{2017}^{2017}{.2^0}.{x^{2017}}\) \( + )\)Thay \(x = 1\) vào hai vế: \({\left( {2 + 1} \right)^{2017}} = C_{2017}^0{.2^{2017}} + C_{2017}^1{.2^{2016}} + C_{2017}^2{.2^{2015}} + ... + C_{2017}^{2017}{.2^0}\) \(\left( 1 \right)\) \( + )\)Thay \(x = - 1\) vào hai vế: \({\left( {2 - 1} \right)^{2017}} = C_{2017}^0{.2^{2017}} - C_{2017}^1{.2^{2016}} + C_{2017}^2{.2^{2015}} - ... - C_{2017}^{2017}{.2^0}\) \(\left( 2 \right)\) Lấy \(\left( 1 \right)\)trừ \(\left( 2 \right)\): \({3^{2017}} - 1 = 2C_{2017}^1{.2^{2016}} + 2C_{2017}^3{.2^{2015}} + ... + 2C_{2017}^{2017}{.2^0}\) \( \Leftrightarrow \dfrac{{{3^{2017}} - 1}}{2} = C_{2017}^1{.2^{2016}} + C_{2017}^3{.2^{2015}} + ... + C_{2017}^{2017}{.2^0}\) \( \Leftrightarrow P = \dfrac{{{3^{2017}} - 1}}{2}\) Chọn D. Câu hỏi 5 : Tổng các hệ số trong khai triển \({\left( {3x - 1} \right)^n} = {a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + ... + {a_n}{x^n}\) là \({2^{11}}.\) Tìm \({a_6}.\)
Đáp án: A Phương pháp giải: Lời giải chi tiết: \({\left( {3x - 1} \right)^n} = {a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + ... + {a_n}{x^n}\) + Thay \(x = 1\) vào hai vế, ta có: \({\left( {3.1 - 1} \right)^n} = {a_0} + {a_1} + {a_2} + ... + {a_n}\) + Mà tổng các hệ số trong khai triển bằng \({2^{11}}\)nên \({\left( {3 - 1} \right)^n} = {2^{21}}\)\( \Leftrightarrow n = 11\) + Số hạng tổng quát của khai triển \({\left( {3x - 1} \right)^{11}}\)là: \({T_{k + 1}} = C_{11}^k.{\left( {3x} \right)^{11 - k}}.{\left( { - 1} \right)^k} = C_{11}^k{.3^{11 - k}}.{\left( { - 1} \right)^k}.{x^{11 - k}}\) \({a_0}\) là hệ số số hạng chứa \({x^0}\) \({a_1}\) là hệ số số hạng chứa \({x^1}\) … \({a_6}\) là hệ số số hạng chứa \({x^6}\) \( \Rightarrow \)\({x^{11 - k}} = {x^6}\)\( \Rightarrow k = 5\) + Hệ số số hạng chứa \({x^6}\)là: \(C_{11}^5{.3^6}.{\left( { - 1} \right)^5} = - 336798\) Chọn A. Câu hỏi 6 : Biết tổng các hệ số của khai triển nhị thức \({\left( {x + \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right)^{3n}}\) là \(64.\) Tìm số hạng không chứa \(x.\)
Đáp án: C Phương pháp giải: Lời giải chi tiết: \({\left( {x + \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right)^{3n}} = C_{3n}^k.{{\rm{x}}^{3n - k}}.{\left( {\dfrac{1}{{{x^2}}}} \right)^k} = C_{3n}^k.{{\rm{x}}^{3n - 3k}} = C_{3n}^0.{x^{3n}} + ... + C_{3n}^{3n}.{x^0}\)(*) +) Tổng các hệ số là: \(C_{3n}^0 + .. + C_{3n}^{3n} = 64\) \( + )\)Thay \(x = 1\) vào cả 2 vế của (*) \( \Rightarrow \)\({2^{3n}} = C_{3n}^0 + ... + C_{3n}^{3n} \Leftrightarrow {2^{3n}} = 64\)\( \Rightarrow n = 2\) \( + )\)Số hạng tổng quát của khai triển là: \({T_{k + 1}} = C_{3n}^k.{x^{3n - k}}.{\left( {\dfrac{1}{{{x^2}}}} \right)^k}\)\( = C_6^k.{x^{6 - k}}.{\left( {{x^{ - 2}}} \right)^k}\)\( = C_6^k.{x^{6 - 3k}}\) \( + )\)Số hạng không chứa \(x\)\( \Leftrightarrow 6 - 3k = 0 \Leftrightarrow k = 2\) \( \Rightarrow \)Số hạng không chứa \(x\)là: \(C_6^2 = 15\) Chọn C. Câu hỏi 7 : Cho \(n \in \mathbb{N}\) thỏa mãn \(C_n^1 + C_n^2 + ... + C_n^n = 1023.\)Tìm hệ số của \({x^2}\) trong khai triển \({\left[ {\left( {12 - n} \right)x + 1} \right]^n}\) thành đa thức
Đáp án: D Phương pháp giải: Lời giải chi tiết: \( + )\)\(C_n^1 + C_n^2 + ... + C_n^n = 1023\) +) Ta có hệ quả từ câu 6: \(C_n^0 + C_n^1 + ... + C_n^n = {2^n}\) \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 1 + C_n^1 + ... + C_n^n = {2^n}\\ \Leftrightarrow C_n^1 + ... + C_n^n = {2^n} - 1\end{array}\) \( \Leftrightarrow {2^n} - 1 = 1023\)\( \Leftrightarrow {2^n} = 1024 \Rightarrow n = 10\) \( + )\)\({\left[ {\left( {12 - n} \right).x + 1} \right]^n} = {\left( {2x + 1} \right)^{10}}\) \( + )\)Số hạng tổng quát thứ \(\left( {k + 1} \right)\) của khai triển là: \({T_{k + 1}} = C_{10}^k.{\left( {2x} \right)^k}{.1^{10 - k}}\) \( = C_{10}^k{.2^k}.{x^k}{.1^{10 - k}}\) + Số hạng chứa \({x^2}\)\( \Rightarrow k = 2\) \( \Rightarrow \)Hệ số của số hạng chứa\({x^2}\) là: \(C_{10}^2{.2^2}{.1^8} = 180\) Chọn D. Câu hỏi 8 : Tìm hệ số của \({x^5}\) trong khai triển thành đa thức của \({\left( {2 - 3x} \right)^{2n}},\) biết \(n\) là số nguyên dương thỏa mãn: \(C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^2 + C_{2n + 1}^4 + ... + C_{2n + 1}^{2n} = 1024.\)
Đáp án: C Phương pháp giải: Lời giải chi tiết: \( + )\)\(C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^2 + C_{2n + 1}^4 + ... + C_{2n + 1}^{2n} = 1024\) \( \Leftrightarrow 2\left[ {C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^2 + C_{2n + 1}^4 + ... + C_{2n + 1}^{2n}} \right] = 2.1024\) \( \Leftrightarrow \left( {C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^2 + C_{2n + 1}^4 + ... + C_{2n + 1}^{2n}} \right) + \left( {C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^2 + C_{2n + 1}^4 + ... + C_{2n + 1}^{2n}} \right) = 2.1024\)(*) Vì \(C_n^k = C_n^{n - k}\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}C_{2n + 1}^0 = C_{2n + 1}^{2n + 1}\\C_{2n + 1}^1 = C_{2n + 1}^{2n}\\....\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \)\(C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^2 + C_{2n + 1}^4 + ... + C_{2n + 1}^{2n} = C_{2n + 1}^{2n + 1} + ... + C_{2n + 1}^1\) (Nói cách khác: Tổng các C có chỉ số chẵn = Tổng các C có chỉ số lẻ) (*) \( \Rightarrow \)\(\left( {C_{2n + 1}^{2n + 1} + ... + C_{2n + 1}^1} \right) + \left( {C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^2 + C_{2n + 1}^4 + ... + C_{2n + 1}^{2n}} \right) = 2.1024\) \( \Leftrightarrow C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^2 + C_{2n + 1}^3 + ... + C_{2n + 1}^{2n} + C_{2n + 1}^{2n + 1} = 2048\) \( \Leftrightarrow {\left( {1 + 1} \right)^{2n + 1}} = 2048\)\( \Leftrightarrow {2^{2n + 1}} = 2048\)\( \Leftrightarrow 2n + 1 = 11\)\( \Leftrightarrow n = 5\) \( + )\)Số hạng tổng quát của khai triển: \({\left( {2 - 3x} \right)^{10}}\)là: \({T_{k + 1}} = C_{10}^k{.2^{10 - k}}.{\left( { - 3} \right)^k}.{x^k}\) Số hạng chứa \({x^5}\)\( \Rightarrow {x^5} = {x^k}\)\( \Leftrightarrow k = 5\) \( \Rightarrow \) Hệ số của số hạng chứa\({x^5}\)là: \(C_{10}^5{.2^5}.{\left( { - 3} \right)^5} = - 1959552\) Chọn C. Câu hỏi 9 : Tìm số hạng thứ năm trong khai triển \({\left( {x - \dfrac{2}{x}} \right)^{11}}\) mà trong khai triển đó số mũ của \(x\) giảm dần.
Đáp án: B Phương pháp giải: Lời giải chi tiết: + Số hang tổng quát trong khai triển: \(T_{k + 1}^{} = C_{11}^k.{x^{11 - k}}.{\left( {\dfrac{{ - 2}}{x}} \right)^k} = C_{11}^k.{\left( { - 2} \right)^k}.{\left( x \right)^{11 - 2k}}\) ( khi k tăng dần thì khai triển có số mũ của x giảm dần) + Số hạng thứ 5 ứng với: \(T_5^{} = T_{k + 1}^{} \Rightarrow k = 4\) \( \Rightarrow T_5^{} = C_{11}^4.{\left( { - 2} \right)^4}.{x^3} = 5280{x^3}\) Chọn B. Câu hỏi 10 : Tìm hệ số của \({x^5}\) trong khai triển \(P\left( x \right) = \left( {1 + x} \right) + 2{\left( {1 + x} \right)^2} + ... + 8{\left( {1 + x} \right)^8}\)
Đáp án: C Phương pháp giải: Lời giải chi tiết: +\(P\left( x \right) = \left( {1 + x} \right) + 2{\left( {1 + x} \right)^2} + ... + 8{\left( {1 + x} \right)^8}\) + Ta lấy \(n{\left( {1 + x} \right)^n}\) là số hạng đại điện cho các số hạng trong \(P(x)\) + Số hạng tổng quát trong khai triển: \(T_{k + 1}^{} = n.\left( {C_n^k{{.1}^{n - k}}.{x^k}} \right) = nC_n^k{x^k}\) Do \({x^5}\) chỉ xuất hiện ở các số hạng \(5{\left( {1 + x} \right)^5},6{\left( {1 + x} \right)^6},7{\left( {1 + x} \right)^7},8{\left( {1 + x} \right)^8}\) + Số hạng chứa \({x^5}\) trong khai triển \(5{\left( {1 + x} \right)^5}\)ứng với \(\left\{ \begin{array}{l}k = 5\\n = 5\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \) Hệ số của số hạng chứa \({x^5}\) là: \(5C_5^5\) + Số hạng chứa \({x^5}\) trong khai triển \(6{\left( {1 + x} \right)^6}\)ứng với \(\left\{ \begin{array}{l}k = 5\\n = 6\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \) Hệ số của số hạng chứa \({x^5}\) là: \(6C_6^5\) Tương tự hệ số của \({x^5}\) trong các số hạng còn lại là:\(7C_7^5,8C_8^5\) Vậy tổng các hệ số là: \(5C_5^5 + 6C_6^5 + 7C_7^5 + 8C_8^5 = 636\) Chọn C. Câu hỏi 11 : Tìm hệ số của \({x^4}\) trong khai triển \(P\left( x \right) = {\left( {1 - x - 3{x^3}} \right)^n}\) với n là số tự nhiên thỏa mãn hệ thức \(C_n^{n - 2} + 6n + 5 = A_{n + 1}^2\)
Đáp án: C Phương pháp giải: Lời giải chi tiết: \(\begin{array}{l}C_n^{n - 2} + 6n + 5 = A_{n + 1}^2\\ \Leftrightarrow \dfrac{{n!}}{{2!\left( {n - 2} \right)!}} + 6n + 5 = \dfrac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{\left( {n - 1} \right)!}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2} + 6n + 5 = n\left( {n + 1} \right)\\ \Leftrightarrow - {n^2} + 9n + 10 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = - 1\,\,\,\left( {ktm} \right)\\n = 10\,\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\) + Tìm hệ số \({x^4}\) trong khai triển \(P\left( x \right) = {\left( {1 - x - 3{x^3}} \right)^{10}}\) + Số hạng tổng quát \(T_{k + 1}^{} = C_{10}^k{.1^{10 - k}}.{\left( { - x - 3{x^3}} \right)^k}\) \( = C_{10}^k.{\left( { - 1} \right)^k}.{\left( {x + 3{x^3}} \right)^k}\) \( = C_{10}^k.{\left( { - 1} \right)^k}.C_k^p.{x^{k - p}}.{\left( {3{{\rm{x}}^3}} \right)^p}\) \( = C_{10}^k.{\left( { - 1} \right)^k}.C_k^p.{x^{k - p}}.{\left( {3{{\rm{x}}^3}} \right)^p}\) \( = C_{10}^k.C_k^p.{\left( { - 1} \right)^k}{.3^p}.{x^{k + 2p}}\) + Số hạng chứa \({x^4}\)ứng với: \(k + 2p = 4\) (\(0 \le p \le k \le 10\)) k =4 => p=0; k =2 => p=1; k =0=> p=2 (loại); + Hệ số cần tìm là \(C_{10}^4.C_4^0{\left( { - 1} \right)^4}{\left( { - 3} \right)^0} + C_{10}^2C_2^1{\left( { - 1} \right)^1}{\left( { - 3} \right)^1} = 480\). Chọn C. Câu hỏi 12 : Tìm số nguyên dương n thỏa mãn \(C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^2 + ... + C_{2n + 1}^{2n + 1} = {2^{21}} - 1\)
Đáp án: C Phương pháp giải: Lời giải chi tiết: \(C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^2 + ... + C_{2n + 1}^{2n + 1} = {2^{21}} - 1\) \( \Leftrightarrow C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^2 + ... + C_{2n + 1}^{2n + 1} + 1 = {2^{21}}\) \( \Leftrightarrow C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^2 + ... + C_{2n + 1}^{2n + 1} = {2^{21}}\) \( + )\)Xét: \({\left( {x + 1} \right)^{2n + 1}} = C_{2n + 1}^0.{x^{2n + 1}}{.1^0} + C_{2n + 1}^1.{x^{2n}}{.1^1} + ... + C_{2n + 1}^{2n + 1}.{x^0}{.1^{2n + 1}}\) \( + )\)Thay \(x = 1\) vào, ta có: \({2^{2n + 1}} = C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^1 + ... + C_{2n + 1}^{2n + 1}\) \( \Leftrightarrow {2^{2n + 1}} = {2^{21}}\)\( \Leftrightarrow 2n + 1 = 21\)\( \Leftrightarrow 2n = 20\)\( \Leftrightarrow n = 10\) Chọn C. Câu hỏi 13 : Tìm số nguyên dương n thỏa mãn \(C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^3 + ... + C_{2n + 1}^{2n + 1} = 1024\)
Đáp án: A Phương pháp giải: Lời giải chi tiết: \( + )\)Xét: \({\left( {x - 1} \right)^{2n + 1}} = C_{2n + 1}^0.{x^{2n + 1}}.{\left( { - 1} \right)^0} + C_{2n + 1}^1.{x^{2n}}.{\left( { - 1} \right)^1} + ... + C_{2n + 1}^{2n + 1}.{x^0}.{\left( { - 1} \right)^{2n + 1}}\) \( = C_{2n + 1}^0.{x^{2n + 1}} - C_{2n + 1}^1.{x^{2n}} + ... - C_{2n + 1}^{2n + 1}\) \( + )\)Thay \(x = 1\) vào, ta có: \({\left( {1 - 1} \right)^{2n + 1}} = C_{2n + 1}^0 - C_{2n + 1}^1 + ... - C_{2n + 1}^{2n + 1}\) \( \Leftrightarrow 0 = C_{2n + 1}^0 - C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^2 - C_{2n + 1}^3 + ... + C_{2n + 1}^{2n} - C_{2n + 1}^{2n + 1}\) \( \Leftrightarrow \left( {C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^2 + ... + C_{2n + 1}^{2n}} \right) - \left( {C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^3 + ... + C_{2n + 1}^{2n + 1}} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^2 + ... + C_{2n + 1}^{2n} = C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^3 + ... + C_{2n + 1}^{2n + 1}\) \( + )\)Xét: \({\left( {x + 1} \right)^{2n + 1}} = C_{2n + 1}^0.{x^{2n + 1}}{.1^0} + C_{2n + 1}^1.{x^{2n}}{.1^1} + ... + C_{2n + 1}^{2n + 1}.{x^0}{.1^{2n + 1}}\) \( + )\)Thay \(x = 1\) vào, ta có: \({\left( {1 + 1} \right)^{2n + 1}} = C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^1 + ... + C_{2n + 1}^{2n + 1}\) \( = \left( {C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^2 + ... + C_{2n + 1}^{2n}} \right) + \left( {C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^3 + ... + C_{2n + 1}^{2n + 1}} \right)\) \( = 2\left( {C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^3 + ... + C_{2n + 1}^{2n + 1}} \right)\) \( = 2.1024\) \( \Leftrightarrow {2^{2n + 1}} = {2^{11}}\)\( \Leftrightarrow 2n + 1 = 11\)\( \Leftrightarrow n = 5\) Chọn A. Câu hỏi 14 : Tìm a trong khai triển \(\left( {1 + ax} \right){\left( {1 - 3x} \right)^6}\), biết hệ số của số hạng chứa \({x^3}\) là 405
Đáp án: B Phương pháp giải: Lời giải chi tiết: \(\left( {1 + ax} \right){\left( {1 - 3x} \right)^6} = {\left( {1 - 3x} \right)^6} + ax{\left( {1 - 3x} \right)^6}\) Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}A = {\left( {1 - 3x} \right)^6}\\B = ax{\left( {1 - 3x} \right)^6}\end{array} \right.\) + Xét số hạng tổng quát của A là: \(T_{k + 1}^{} = C_6^k{.1^{6 - k}}{\left( { - 3x} \right)^k} = C_6^k{\left( { - 3} \right)^k}.{x^k}\) Số hạng chứa \({x^3}\)ứng với: \({x^k} = {x^3} \Rightarrow k = 3\) \( \Rightarrow \)Hệ số của số hạng chứa \({x^3}\) trong khai triển của A là: \(C_6^3{\left( { - 3} \right)^3}.{x^3} = - 540\,\,\,(1)\) + Xét số hạng tổng quát của B là: \(T_{k + 1}^{} = C_6^k{.1^{6 - k}}{\left( { - 3x} \right)^k}{\rm{.}}\left( {{\rm{ax}}} \right) = C_6^k{\left( { - 3} \right)^k}.{x^k}{\rm{.}}\left( {{\rm{ax}}} \right) = C_6^k{\left( { - 3} \right)^k}.a.{x^{k + 1}}\) Số hạng chứa \({x^3}\)ứng với:\({x^3} = {x^{k + 1}} \Rightarrow k = 2\) \( \Rightarrow \)Hệ số của số hạng chứa \({x^3}\) trong khai triển của B là:\(C_6^2{\left( { - 3} \right)^2}.a = 135a\,\,\,\left( 2 \right)\) Từ (1) và (2) \( \Rightarrow - 540{x^3} + 135a{x^3} = 405{x^3} \Rightarrow a = 7\). Chọn B. Câu hỏi 15 : Cho \(n\) là số tự nhiên thỏa mãn \(C_n^n + C_n^{n - 1} + C_n^{n - 2} = 79\). Hệ số của \({x^5}\) trong khai triển của \({\left( {2x - 1} \right)^n}\) là:
Đáp án: C Phương pháp giải: Lời giải chi tiết: \(\begin{array}{l}C_n^n + C_n^{n - 1} + C_n^{n - 2} = 79\\ \Leftrightarrow \dfrac{{n!}}{{n!}} + \dfrac{{n!}}{{1!\left( {n - 1} \right)!}} + \dfrac{{n!}}{{2!\left( {n - 2} \right)!}} = 79\\ \Leftrightarrow 1 + n + \dfrac{1}{2}n\left( {n - 1} \right) = 79\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = - 13\left( L \right)\\n = 12\left( {TM} \right)\end{array} \right.\end{array}\) + Số hạng tổng quát trong khai triển của \({\left( {2x - 1} \right)^{12}}\) là: \(T_{k + 1}^{} = C_{12}^k{\left( {2x} \right)^{12 - k}}{\left( { - 1} \right)^k} = C_{12}^k{.2^{12 - k}}{\left( { - 1} \right)^k}{x^{12 - k}}\) + Số hạng chứa \({x^5}\)ứng với: \(12 - k = 5\)\( \Rightarrow k = 7\) + Hệ số của số hạng chứa\({x^5}\) là: \(C_{12}^7{2^5}{\left( { - 1} \right)^7} = - 25344\) Chọn C. Câu hỏi 16 : Tìm hệ số \({x^6}\) trong khai triển \({\left( {\dfrac{1}{x} + {x^3}} \right)^{3n + 1}}\) với \(x \ne 0\), biết n là số nguyên dương thỏa mãn \(3C_{n + 1}^2 + n{P_2} = 4{\rm{A}}_n^2\)
Đáp án: D Phương pháp giải: Lời giải chi tiết: \(\begin{array}{l}3C_{n + 1}^2 + nP_2^{} = 4A_n^2\\ \Leftrightarrow 3\dfrac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{2!\left( {n + 1 - 2} \right)!}} + n.2! = 4\dfrac{{n!}}{{\left( {n - 2!} \right)}}\\ \Leftrightarrow 3.\dfrac{1}{2}\left( {n + 1} \right)n + 2n = 4n\left( {n - 1} \right)\\ \Leftrightarrow \dfrac{{ - 5}}{2}{n^2} + \dfrac{{15}}{2}n = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 0\left( L \right)\\n = 3\left( {TM} \right)\end{array} \right.\end{array}\) + Khi đó khai triển là \({\left( {\dfrac{1}{x} + {x^3}} \right)^{3.3 + 1}} = {\left( {\dfrac{1}{x} + {x^3}} \right)^{10}}\) + Số hạng tổng quát trong khai triển của \({\left( {\dfrac{1}{x} + {x^3}} \right)^{10}}\) là: \(T_{k + 1}^{} = C_{10}^k.{\left( {\dfrac{1}{x}} \right)^{10 - k}}.{\left( {{x^3}} \right)^k} = C_{10}^k.{x^{4k - 10}}\) + Số hạng chứa \({x^6}\)ứng với: \(4k - 10 = 6 \Rightarrow k = 4\) Vậy Hệ số của số hạng chứa\({x^6}\) là: \(C_{10}^4 = 210\) Chọn D. Câu hỏi 17 : Tìm số hạng đứng giữa trong khai triển \({\left( {{x^3} + xy} \right)^{21}}\)
Đáp án: D Phương pháp giải: Lời giải chi tiết: + Khai triển mũ 21 thì ta thấy có 22 số hạng (Cái này là mẹo nhé!) Tổng quát: Khai triển mũ n thì sẽ có \(n + 1\) số hạng + Chú ý: Nếu n là số lẻ \( \Rightarrow \) Số hạng đứng giữa là số hạng thứ \(\dfrac{{\left( {n + 1} \right)}}{2}\) và \(\dfrac{{\left( {n + 1} \right)}}{2} + 1\) Nếu n là số chẵn\( \Rightarrow \) Số hạng đứng giữa là số hạng thứ \(\dfrac{n}{2} + 1\)
Vì \(n = 21\)\( \Rightarrow \) Số hạng giữa là số hạng thứ \(T_{11}^{};T_{12}^{}\) + Khai triển tổng quát của số hạng: \(T_{k + 1}^{} = C_{21}^k{\left( {{x^3}} \right)^{21 - k}}{\left( {xy} \right)^k} = C_{21}^k{x^{63 - 2k}}{y^k}\) Số hạng \(T_{11}^{}\) là: \(T_{k + 1}^{} = T_{11}^{} \Rightarrow k = 10 \Rightarrow T_{11}^{} = C_{21}^{10}{x^{43}}{y^{10}}\) Số hạng \(T_{12}^{}\) là: \(T_{k + 1}^{} = T_{12}^{} \Rightarrow k = 11 \Rightarrow T_{12}^{} = C_{21}^{11}{x^{41}}{y^{11}}\) Chọn D. Câu hỏi 18 : Tìm hệ số của \({x^7}\) trong khai triển \({\left( {3{x^2} - \dfrac{2}{x}} \right)^n}\) với \(x \ne 0\), biết hệ số của số hạng thứ ba trong khai triển bằng 1080.
Đáp án: B Phương pháp giải: Lời giải chi tiết: + Số hạng tổng quát trong khai triển: \({T_{k + 1}} = C_n^k{\left( {3{x^2}} \right)^{n - k}}{\left( {\dfrac{{ - 2}}{x}} \right)^k} = C_n^k{.3^{n - k}}{\left( { - 2} \right)^k}.{x^{2n - 3k}}\) + Số hạng \(T_3^{}\)là: \(T_{k + 1}^{} = T_3^{} \Rightarrow k = 2 \Rightarrow T_3^{} = C_n^2{.3^{n - 2}}.{x^{2n - 4}}{\left( { - 2} \right)^2}.{x^{ - 2}}\) + Mà hệ số của số hạng \(T_3^{}\) bằng 1080 \( \Rightarrow C_n^2{.3^{n - 2}}{\left( { - 2} \right)^2} = 1080 \Rightarrow n = 5\) + Số hạng chứa \({x^7}\)ứng với \(2n - 3k = 7 \Leftrightarrow k = 1\) \( \Rightarrow \) Hệ số của số hạng chứa \({x^7}\) là: \(C_5^1{.3^4}.{\left( { - 2} \right)^1} = - 810\) Chọn B. Câu hỏi 19 : Tìm số hạng chứa \({x^{29}}\) trong khai triển theo nhị thức Niu-tơn của \({\left( {{x^2} - x} \right)^n},\) biết \(n\) là số nguyên dương thỏa mãn \(2C_n^2 - 19n = 0.\)
Đáp án: D Phương pháp giải: Giải phương trình tìm \(n\). Sử dụng công thức tính số hạng tổng quát tìm số hạng chứa \({x^{29}}\). Lời giải chi tiết: Ta có: \(2C_n^2 - 19n = 0\) \( \Leftrightarrow 2.\dfrac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2} - 19n = 0\) \( \Leftrightarrow {n^2} - n - 19n = 0\) \( \Leftrightarrow {n^2} - 20n = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 0\left( {loai} \right)\\n = 20\left( {TM} \right)\end{array} \right.\) Số hạng tổng quát \(C_{20}^k{\left( {{x^2}} \right)^{20 - k}}.{x^k} = C_{20}^k{x^{40 - k}}\) Số hạng chứa \({x^{29}}\) ứng với \(40 - k = 29 \Leftrightarrow k = 11\). Vậy số hạng đó là \(C_{20}^{11}{x^{29}}\). Câu hỏi 20 : Cho \(n\) là số nguyên dương thỏa mãn \(C_n^2 - 4C_n^1 - 11 = 0\). Hệ số của số hạng chứa \({x^9}\) trong khai triển nhị thức Niu-tơn của hàm số \({\left( {{x^4} - \dfrac{2}{{{x^3}}}} \right)^n}\left( {x \ne 0} \right)\) bằng:
Đáp án: B Phương pháp giải: Áp dụng công thức tổ hợp và nhị thức Niu-tơn. Lời giải chi tiết: Ta có: \(C_n^2 - 4C_n^1 - 11 = 0\,\,\left( {n \ge 2,\,\,n \in \mathbb{N}} \right)\)\( \Leftrightarrow \dfrac{{n!}}{{2!\left( {n - 2} \right)!}} - 4n - 11 = 0\) \( \Leftrightarrow n\left( {n - 1} \right) - 8n - 22 = 0\) \( \Leftrightarrow {n^2} - 9n - 22 = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 11\,\,\left( {tm} \right)\\n = - 2\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\) Khi đó \(P = {\left( {{x^4} - \dfrac{2}{{{x^3}}}} \right)^n} = {\left( {{x^4} - \dfrac{2}{{{x^3}}}} \right)^{11}}\). \( \Rightarrow P = \sum\limits_{k = 0}^{11} {C_{11}^k{{\left( {{x^4}} \right)}^{11 - k}}.\dfrac{{{{\left( { - 2} \right)}^k}}}{{{x^{3k}}}}} \)\( = \sum\limits_{k = 0}^{11} {C_{11}^k.{{\left( { - 2} \right)}^k}.{x^{44 - 7k}}} \) \(\left( {0 \le k \le 11,\,\,k \in \mathbb{N}} \right).\) Hệ số của \({x^9}\) ứng với \(44 - 7k = 9 \Leftrightarrow k = 5\,\,\,\left( {tm} \right)\) Vậy hệ số của \({x^9}\) trong khai triển trên là \(C_{11}^5.{\left( { - 2} \right)^5} = - 14784.\) Chọn B. Câu hỏi 21 : Cho \(x > 0,\,\,x \ne 1\). Tìm số hạng không chứa \(x\) trong khai triển Niu-tơn của \(P = {\left( {\dfrac{{x + 1}}{{\sqrt[3]{{{x^2}}} - \sqrt[3]{x} + 1}} - \dfrac{{x - 1}}{{x - \sqrt x }}} \right)^{20}}\).
Đáp án: A Phương pháp giải: - Sử dụng các hằng đẳng thức rút gọn biểu thức \(P\). - Sử dụng khai triển Niu-tơn: \({\left( {a + b} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{a^{n - k}}{b^k}} \). Lời giải chi tiết: \(\begin{array}{l}P = {\left( {\dfrac{{x + 1}}{{\sqrt[3]{{{x^2}}} - \sqrt[3]{x} + 1}} - \dfrac{{x - 1}}{{x - \sqrt x }}} \right)^{20}}\\P = {\left( {\dfrac{{{{\left( {\sqrt[3]{x}} \right)}^3} + {1^3}}}{{\sqrt[3]{{{x^2}}} - \sqrt[3]{x} + 1}} - \dfrac{{{{\left( {\sqrt x } \right)}^2} - {1^2}}}{{x - \sqrt x }}} \right)^{20}}\\P = {\left( {\dfrac{{\left( {\sqrt[3]{x} + 1} \right)\left( {\sqrt[3]{{{x^2}}} - \sqrt[3]{x} + 1} \right)}}{{\sqrt[3]{{{x^2}}} - \sqrt[3]{x} + 1}} - \dfrac{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}} \right)^{20}}\\P = {\left( {\sqrt[3]{x} + 1 - \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x }}} \right)^{20}}\\P = {\left( {\sqrt[3]{x} + 1 - 1 - \dfrac{1}{{\sqrt x }}} \right)^{20}}\\P = {\left( {\sqrt[3]{x} - \dfrac{1}{{\sqrt x }}} \right)^{20}}\\P = {\left( {{x^{\frac{1}{3}}} - {x^{ - \frac{1}{2}}}} \right)^{20}}\end{array}\) \(\begin{array}{l}P = \sum\limits_{k = 0}^{20} {C_{20}^k{{\left( {{x^{\frac{1}{3}}}} \right)}^{20 - k}}} {\left( { - {x^{ - \frac{1}{2}}}} \right)^k}\\P = \sum\limits_{k = 0}^{20} {C_{20}^k{{\left( { - 1} \right)}^k}{x^{\frac{{20 - k}}{3}}}} {x^{ - \frac{k}{2}}}\\P = \sum\limits_{k = 0}^{20} {C_{20}^k{{\left( { - 1} \right)}^k}{x^{\frac{{40 - 5k}}{6}}}} \end{array}\) Số hạng không chứa \(x\) ứng với \(40 - 5k = 0 \Leftrightarrow k = 8\). Vậy số hạng không chứa \(x\) trong khai triển trên là: \(C_{20}^8{\left( { - 1} \right)^8} = 125970\). Chọn A. Câu hỏi 22 : Khai triển đa thức \(P\left( x \right) = {\left( {\dfrac{1}{3} + \dfrac{2}{3}x} \right)^{10}} = {a_0} + {a_1}x + ... + {a_9}{x^9} + {a_{10}}{x^{10}}\). Tìm hệ số \({a_k}\,\,\left( {0 \le k \le 10;\,\,k \in \mathbb{N}} \right)\) lớn nhất trong khai triển trên.
Đáp án: A Phương pháp giải: Tìm số hạng tổng quát trong khai triển, đánh giá tìm số hạng lớn nhất. Lời giải chi tiết: SHTQ : \({T_{k + 1}} = C_{10}^k.{\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^{10 - k}}.{\left( {\dfrac{2}{3}x} \right)^{10 - k}}\)\( = C_{10}^k.\dfrac{1}{{{3^{10 - k}}}}.\dfrac{{{2^k}}}{{{3^k}}}{x^k} = \dfrac{{C_{10}^k{{.2}^k}}}{{{3^{10}}}}{x^k}\) Hệ số của SHTQ là \(\dfrac{{C_{10}^k{{.2}^k}}}{{{3^{10}}}}\). Ta có : \(\dfrac{{C_{10}^k{{.2}^k}}}{{{3^{10}}}} < \dfrac{{C_{10}^{k + 1}{{.2}^{k + 1}}}}{{{3^{10}}}}\)\( \Leftrightarrow C_{10}^k{.2^k} < C_{10}^{k + 1}{.2^{k + 1}}\)\( \Leftrightarrow C_{10}^k < 2C_{10}^{k + 1}\)\( \Leftrightarrow \dfrac{{10!}}{{k!\left( {10 - k} \right)!}} < 2.\dfrac{{10!}}{{\left( {k + 1} \right)!\left( {9 - k} \right)!}}\) \( \Leftrightarrow \dfrac{1}{{10 - k}} < \dfrac{2}{{k + 1}} \Leftrightarrow k + 1 < 2\left( {10 - k} \right)\)\( \Leftrightarrow 3k < 19 \Leftrightarrow k < \dfrac{{19}}{3}\) Do đó \(\dfrac{{C_{10}^0{{.2}^0}}}{{{3^{10}}}} < \dfrac{{C_{10}^1{{.2}^1}}}{{{3^{10}}}} < ... < \dfrac{{C_{10}^6{{.2}^6}}}{{{3^{10}}}}\) và \(\dfrac{{C_{10}^7{{.2}^7}}}{{{3^{10}}}} > \dfrac{{C_{10}^7{{.2}^7}}}{{{3^{10}}}} > ... > \dfrac{{C_{10}^{10}{{.2}^{10}}}}{{{3^{10}}}}\) Mà \(\dfrac{{C_{10}^6{{.2}^6}}}{{{3^{10}}}} < \dfrac{{C_{10}^7{{.2}^7}}}{{{3^{10}}}}\) nên hệ số lớn nhất là \(\dfrac{{C_{10}^7{{.2}^7}}}{{{3^{10}}}}\). Chọn A. Câu hỏi 23 : Cho \(n\) là số nguyên dương thỏa mãn \(C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^2 + ..... + C_{2n + 1}^n = {2^{24}} - 1\). Tìm hệ số của \({x^9}\) trong khai triển \({\left( {{x^2} - x + \dfrac{1}{4}} \right)^2}{\left( {2x - 1} \right)^{2n}}.\)
Đáp án: A Phương pháp giải: Áp dụng tính chất \(C_n^k = C_n^{n - k}\). Áp dụng nhị thức Niu-tơn. Lời giải chi tiết: Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}C_{2n + 1}^1 = C_{2n + 1}^{2n}\\C_{2n + 1}^2 = C_{2n + 1}^{2n - 1}\\...\\C_{2n + 1}^n = C_{2n + 1}^{n + 1}\end{array} \right.\) \(\begin{array}{l} \Rightarrow A = C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^2 + ... + C_{2n + 1}^n = C_{2n + 1}^{n + 1} + C_{2n + 1}^{n + 2} + ... + C_{2n + 1}^{2n}\\ \Rightarrow A = \dfrac{{{2^{2n + 1}} - 2}}{2} = {2^{2n}} - 1\end{array}\) Theo giả thiết ta có \(A = {2^{24}} - 1 \Rightarrow n = 12\) Khi đó \(\begin{array}{l}\,\,\,\,{\left( {{x^2} - x + \dfrac{1}{4}} \right)^2}{\left( {2x - 1} \right)^{24}} = {\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right)^4}{\left( {2x - 1} \right)^{24}}\\ = \dfrac{{{{\left( {2x - 1} \right)}^{28}}}}{{16}} = \dfrac{1}{{16}}\sum\limits_{k \to 0}^{28} {C_{28}^k} {.2^k}.{x^k}.{\left( { - 1} \right)^{28 - k}}\end{array}\) Khi đó hệ số của \({x^9}\)hay \(k = 9\) là \( - C_{28}^9{.2^5}\) Chọn A. Câu hỏi 24 : Cho \(n\) là số nguyên dương thỏa mãn \(C_n^0 + 2C_n^1 + 4C_n^2 + .... + {2^n}C_n^n = 243\) và \(m\) là số nguyên dương thỏa mãn \(C_{2m}^1 + C_{2m}^3 + C_{2m}^5 + .... + C_{2m}^{2m - 1} = 2048\). Khi đó khẳng định nào sau đây là đúng ?
Đáp án: D Phương pháp giải: Sử dụng tính chất nhị thức Niu-Tơn. Lời giải chi tiết: +)Ta có \({\left( {1 + 2} \right)^n} = \sum\limits_{k \to 0}^n {C_n^k{{.2}^k}} = C_n^0 + 2C_n^1 + ... + {2^n}.C_n^n\) Mà \(C_n^0 + 2C_n^1 + ... + {2^n}.C_n^n = 243\) Nên \({3^n} = 243 \Leftrightarrow n = 5\) +) Mặt khác \(C_{2m}^1 + C_{2m}^3 + ... + C_{2m}^{2m - 1} = 2048\). \( \Leftrightarrow \dfrac{{{2^{2m}}}}{2} = 2048 \Leftrightarrow m = 6\) Do đó \(m > n\). Chọn D. Câu hỏi 25 : Biết hệ số của số hạng chứa \({x^2}\) trong khai triển \({\left( {1 + 4x} \right)^n}\) là 3040. Số tự nhiên \(n\) bằng bao nhiêu?
Đáp án: D Phương pháp giải: Sử dụng khai triển nhị thức Newton: \({\left( {a + b} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{a^k}{b^{n - k}}} \). Lời giải chi tiết: \({\left( {1 + 4x} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{{\left( {4x} \right)}^k}{1^{n - k}}} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{4^k}{x^k}} \). Hệ số của số hạng chứa \({x^2}\) trong khai triển trên là \(C_n^2{4^2} = 16C_n^2\). Theo bài ra ta có: \(16C_n^2 = 3040 \Leftrightarrow C_n^2 = 190 \Leftrightarrow \dfrac{{n!}}{{2!\left( {n - 2} \right)!}} = 190\). \( \Leftrightarrow n\left( {n - 1} \right) = 380 \Leftrightarrow {n^2} - n - 380 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 20\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\n = - 19\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\) Vậy \(n = 20\). Chọn D. Câu hỏi 26 : Tìm số hạng không chứa \(x\) trong khai triển của biểu thức \({\left( {{x^2} - \dfrac{2}{{{x^2}}}} \right)^n}\)biết \(3C_n^1 + {3^2}C_n^2 + {3^3}C_n^3 + ... + {3^n}C_n^{n - 1} + {3^n}C_n^n = 65535\) với \(n \in {N^*},\,\,x \ne 0\).
Đáp án: A Phương pháp giải: +) Tìm \(n\) thông qua dữ kiện đề bài cho. +) Tìm hệ số không chứa \(x\) dựa vào khai triển nhị thức Newton. Lời giải chi tiết: Ta có : \(\begin{array}{l}3C_n^1 + {3^2}C_n^2 + {3^3}C_n^3 + ... + {3^n}C_n^{n - 1} + {3^n}C_n^n = 65535\\ \Leftrightarrow {3^0}C_n^0 + 3C_n^1 + {3^2}C_n^2 + {3^3}C_n^3 + ... + {3^n}C_n^{n - 1} + {3^n}C_n^n = 65535 + {3^0}C_n^0\\ \Leftrightarrow {\left( {3 + 1} \right)^n} = 65536 \Leftrightarrow {4^n} = 65536 \Leftrightarrow n = 8.\end{array}\) Khai triển với \(n = 8\) ta được: \({\left( {{x^2} - \dfrac{2}{{{x^2}}}} \right)^8} = \sum\limits_{k = 0}^8 {C_8^k{{\left( {{x^2}} \right)}^{8 - k}}.{{\left( { - 2} \right)}^k}.{{\left( {{x^{ - 2}}} \right)}^k}} = \sum\limits_{k = 0}^8 {{{\left( { - 2} \right)}^k}.C_8^k.{x^{16 - 4k}}} \) Khi đó số hạng không chứa \(x\) ứng với: \(16 - 4k = 0 \Leftrightarrow k = 4\), nên hệ số là: \({\left( { - 2} \right)^4}.C_8^4 = 1120.\) Chọn A. Câu hỏi 27 : Hệ số của \({x^5}\) trong khai triển \(P\left( x \right) = x{\left( {1 - 2x} \right)^5} + {x^2}{\left( {1 + 3x} \right)^{10}}\) là:
Đáp án: C Phương pháp giải: Sử dụng khai triển nhị thức Newton: \({\left( {a + b} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{a^{n - k}}{b^k}} \). Lời giải chi tiết: \(\begin{array}{l}P\left( x \right) = x{\left( {1 - 2x} \right)^5} + {x^2}{\left( {1 + 3x} \right)^{10}}\\P\left( x \right) = x\sum\limits_{m = 0}^5 {C_5^m{{\left( { - 2} \right)}^m}{x^m}} + {x^2}\sum\limits_{n = 0}^{10} {C_{10}^n{3^n}{x^n}} \\P\left( x \right) = \sum\limits_{m = 0}^5 {C_5^m{{\left( { - 2} \right)}^m}{x^{m + 1}}} + \sum\limits_{n = 0}^{10} {C_{10}^n{3^n}{x^{n + 2}}} \end{array}\) Số hạng chứa \({x^5}\) ứng với \(\left\{ \begin{array}{l}m + 1 = 5\\n + 2 = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 4\\n = 3\end{array} \right.\). Vậy hệ số của số hạng chứa \({x^5}\) trong khai triển trên là \(C_5^4.{\left( { - 2} \right)^4} + C_{10}^3{.3^3} = 3320\). Chọn C. Câu hỏi 28 : Tính tổng S tất cả các hệ số trong khai triển \({(3x - 4)^{17}}.\)
Đáp án: A Phương pháp giải: + Sử dụng khai triển nhị thức Newton: \({\left( {a + b} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{a^k}{b^{n - k}}} \). + Thay \(x = 1\) để tính tổng các hệ số của khai triển. Lời giải chi tiết: Ta có: \({\left( {3x - 4} \right)^{17}} = \sum\limits_{k = 0}^{17} {C_{17}^k{{.3}^k}.{{\left( { - 4} \right)}^{17 - k}}{x^k}} \,\,\,\left( * \right)\). Hệ số \({a_k} = \sum\limits_{k = 0}^{17} {C_{17}^k{{.3}^k}.{{\left( { - 4} \right)}^{17 - k}}.} \) Thay \(x = 1\) vào (*) ta được tổng các hệ số: \(S = {\left( {3.1 - 4} \right)^{17}} = - 1.\) Chọn A. Câu hỏi 29 : Cho \({\left( {1 + 2x} \right)^n} = {a_0} + {a_1}{x^1} + ... + {a_n}{x^n}.\) Biết \({a_0} + \dfrac{{{a_1}}}{2} + \dfrac{{{a_2}}}{{{2^2}}} + ... + \dfrac{{{a_n}}}{{{2^n}}} = 4096.\) Số lớn nhất trong các số \({a_0},{a_1},{a_2},...,{a_n}\) có giá trị bằng
Đáp án: A Phương pháp giải: Lời giải chi tiết: Xét: \({\left( {1 + 2x} \right)^n} = {a_0} + {a_1}{x^1} + ... + {a_n}{x^n}.\) Thay \(x = \dfrac{1}{2}\) vào 2 vế \( \Rightarrow {\left( {1 + 2.\dfrac{1}{2}} \right)^n} = {a_0} + {a_1}\dfrac{1}{2} + ... + {a_n}\dfrac{1}{{{2^n}}}\) \( \Leftrightarrow {2^n} = 4096 \Leftrightarrow {2^n} = {2^{12}}\)\( \Leftrightarrow n = 12\) \( \Rightarrow \) Biểu thức là: \({\left( {1 + 2x} \right)^{12}}\) + Số hạng tổng quát của khai triển là: \({T_{k + 1}} = C_{12}^k{.2^k}.{x^k}\) \( + )\)Hệ số lớn nhất \( \Leftrightarrow y = C_{12}^k{.2^k}\) max \(\left( {0 \le k \le 12} \right)\) Mà hệ số max \( \Rightarrow {k_{\max }}\)\( \Rightarrow \) Muốn \(k\) max thì k phải lớn hơn cả số hạng đứng trước nó là (k-1) và lớn hơn cả số hạng đứng sau nó là (k+1) \( \Rightarrow \) Ta có hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}C_{12}^{k - 1}{.2^{k - 1}} < C_{12}^k{.2^k}\,\,(1)\\C_{12}^{k + 1}{.2^{k + 1}} < C_{12}^k{.2^k}\,\,(2)\end{array} \right.\) + (1) \( \Leftrightarrow \)\(\dfrac{{12!}}{{\left( {k - 1} \right)!\,\,(12 - k + 1)!}}.\dfrac{{{2^k}}}{2} < \dfrac{{12!}}{{k!\,\,\left( {12 - k} \right)!}}{.2^k}\) \( \Leftrightarrow \dfrac{1}{{(k - 1)!\,\,\left( {13 - k} \right)\left( {12 - k} \right)!}}.\dfrac{1}{2} < \dfrac{1}{{k\left( {k - 1} \right)!\,\,\left( {12 - k} \right)!}}\) \( \Leftrightarrow \dfrac{1}{{2.\left( {13 - k} \right)}} < \dfrac{1}{k} \Leftrightarrow \dfrac{1}{{13 - k}} < \dfrac{2}{k}\) + (2) ta làm tương tự như trên\( \Rightarrow \dfrac{2}{{k + 1}} < \dfrac{1}{{12 - k}}\) Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \)\(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{{13 - k}} < \dfrac{2}{k}\\\dfrac{2}{{k + 1}} < \dfrac{1}{{12 - k}}\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k < \dfrac{{26}}{3}\\k > \dfrac{{23}}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k < 8,6\\k > 7,6\end{array} \right.\)(Mà k là số nguyên)\( \Rightarrow k = 8\) \( \Rightarrow \)Hệ số lớn nhất trong khai triển biểu thức là: \(y\left( 8 \right) = \)\(C_{12}^8{.2^8} = 126720\) Chọn A. Câu hỏi 30 : Tính tổng \(S = C_{2018}^0 + \dfrac{1}{2}C_{2018}^1 + \dfrac{1}{3}C_{2018}^2 + ... + \dfrac{1}{{2018}}C_{2018}^{2017} + \dfrac{1}{{2019}}C_{2018}^{2018}\)
Đáp án: C Phương pháp giải: Tính tổng \(2019S\) bằng cách nhận xét số hạng tổng quát của tổng này. Lời giải chi tiết: Ta có : \(S = C_{2018}^0 + \dfrac{1}{2}C_{2018}^1 + \dfrac{1}{3}C_{2018}^2 + ... + \dfrac{1}{{2018}}C_{2018}^{2017} + \dfrac{1}{{2019}}C_{2018}^{2018} = \sum\limits_{k = 0}^{2018} {\dfrac{1}{{k + 1}}C_{2018}^k} \) \( \Rightarrow 2019S = \sum\limits_{k = 0}^{2018} {\dfrac{{2019}}{{k + 1}}C_{2018}^k} = \sum\limits_{k = 0}^{2018} {\dfrac{{2019}}{{k + 1}}.\dfrac{{2018!}}{{k!\left( {2018 - k} \right)!}}} \)\( = \sum\limits_{k = 0}^{2018} {\dfrac{{2019!}}{{\left( {k + 1} \right)!\left( {2019 - \left( {k + 1} \right)} \right)!}}} = \sum\limits_{k = 0}^{2018} {C_{2019}^{k + 1}} \) \( = C_{2019}^1 + C_{2019}^2 + ... + C_{2019}^{2019}\)\( \Rightarrow 2019S + C_{2019}^0 = C_{2019}^0 + C_{2019}^1 + C_{2019}^2 + ... + C_{2019}^{2019} = {2^{2019}}\) \( \Rightarrow 2019S = {2^{2019}} - C_{2019}^0 = {2^{2019}} - 1 \Rightarrow S = \dfrac{{{2^{2019}} - 1}}{{2019}}\). Chọn C Quảng cáo
|