Phương pháp giải:

- Nhận xét: Hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {3{x^3} + 2x - 1} \right) + 2m\) đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi \(f\left( {3{x^3} + 2x - 1} \right)\) đạt giá trị lớn nhất.

- Đặt ẩn phụ \(t = 3{x^3} + 2x - 1\). Tìm khoảng giá trị của \(t\).

- Dựa vào giả thiết tìm GTLN của \(f\left( {3{x^3} + 2x - 1} \right)\), từ đó suy ra GTLN của \(g\left( x \right) = f\left( {3{x^3} + 2x - 1} \right) + 2m\) theo \(m\).

- Giải phương trình GTLN của \(g\left( x \right) = f\left( {3{x^3} + 2x - 1} \right) + 2m\) = \( - 7\), tìm \(m\).

Lời giải chi tiết:

Ta có \(g\left( x \right) = f\left( {3{x^3} + 2x - 1} \right) + 2m\) đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi  \(f\left( {3{x^3} + 2x - 1} \right)\) đạt giá trị lớn nhất.

Đặt \(t = 3{x^3} + 2x - 1\) ta có: \(t'\left( x \right) = 9{x^2} + 2 > 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\), do đó hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

\( \Rightarrow \) Với \(x \in \left[ {0;1} \right] \Rightarrow t \in \left[ { - 1;4} \right]\)\( \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;1} \right]} f\left( {3{x^3} + 2x - 1} \right) = \mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;4} \right]} f\left( t \right) = 3\).

Vậy \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;1} \right]} g\left( x \right) = 3 + 2m =  - 7 \Leftrightarrow m =  - 5\).

Chọn D.

Phương pháp giải:

- Cô lập \(m\).

- Bất phương trình dạng \(g\left( x \right) < m\) có nghiệm  với mọi \(x \in \left( {0;2} \right]\)khi và chỉ khi \(m > \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2} \right]} g\left( x \right)\).

- Lập BBT hoặc sử dụng phương pháp hàm số xác định \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2} \right]} g\left( x \right)\).

Lời giải chi tiết:

Ta có : \(f\left( x \right) < x + m \Leftrightarrow f\left( x \right) - x < m\)

Xét hàm số \(g\left( x \right) = f\left( x \right) - x\)với \(x \in \left( {0;2} \right]\)ta có: \(g'\left( x \right) = f'\left( x \right) - 1 < 0\,\,\forall x \in \left( {0;2} \right].\)

\( \Rightarrow \) Hàm số \(g\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\left( {0;2} \right]\)\( \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2} \right]} g\left( x \right) = g\left( 2 \right) = f\left( 2 \right) - 2\)

Để bất phương trình \(f\left( x \right) < x + m\) có nghiệm với mọi \(x \in \left( {0;2} \right]\) thì \(m > f\left( 2 \right) - 2.\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Lập BBT của hàm số trên đoạn \(\left[ {0;\dfrac{7}{2}} \right]\), từ đó đưa ra đánh giá điểm mà hàm số đạt GTNN.

Lời giải chi tiết:

Dựa vào đồ thị hàm số \(f'\left( x \right)\) ta thấy: \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 3\end{array} \right.\).

Ta có BBT như sau:

Vậy hàm số \(y = f\left( x \right)\)đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn \(\left[ {0;\dfrac{7}{2}} \right]\)tại điểm \({x_0} = 3.\)

Chọn: D.

Phương pháp giải:

- Tính đạo hàm của hàm số \(y = g\left( x \right)\). Giải phương trình \(g'\left( x \right) = 0\).

- Tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\) để tìm giá trị của \(m\).

Lời giải chi tiết:

Ta có : \(g'\left( x \right) = \left( {3{x^2} + 2} \right).f'\left( {{x^3} + 2x} \right)\)

\(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3{x^2} + 2 = 0\\f'\left( {{x^3} + 2x} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow f'\left( {{x^3} + 2x} \right) = 0\) (Do phương trình \(3{x^2} + 2 = 0\) vô nghiệm).

Từ đồ thị hàm số \(f\left( x \right)\) đã cho ta có : \(f'\left( {{x^3} + 2x} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^3} + 2x = 0\\{x^3} + 2x = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = {x_0} \approx 0,77\end{array} \right.\)

Hàm số \(g\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\) có : 

\(\begin{array}{l}g\left( 0 \right) = f\left( 0 \right) + m = m + 1\\g\left( {{x_0}} \right) = f\left( 2 \right) + m = m - 3\\g\left( 1 \right) = f\left( 3 \right) + m = m + 1\end{array}\)

Do đó, \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;1} \right]} g\left( x \right) = g\left( 0 \right) = g\left( 1 \right) = m + 1\).

Theo giả thiết, giá trị lớn nhất của hàm số \(g\left( x \right)\) trên \(\left[ {0;1} \right]\) bằng 9 nên \(m + 1 = 9 \Leftrightarrow m = 8\).

Vậy \(m = 8.\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

- Tính đạo hàm của hàm số \(g\left( x \right)\). Xác định các nghiệm của phương trình \(g'\left( x \right) = 0\).

- Xét dấu \(g'\left( x \right)\) thông qua \(f'\left( x \right)\).

- Lập bảng biến thiên của \(g\left( x \right)\) rồi kết luận giá trị lớn nhất của hàm số trên \(\left[ { - 2;4} \right]\).

Lời giải chi tiết:

Ta có \(g\left( x \right) = 2f\left( x \right) - {x^2}\) \( \Rightarrow g'\left( x \right) = 2f'\left( x \right) - 2x\)

Cho \(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow f'\left( x \right) = x\,\,\,\left( 1 \right)\).

Nghiệm của phương trình (1) là hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right);\,\,y = x.\)

Vẽ đường thẳng \(y = x\) và đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) trên cùng hệ trục tọa độ:

Dựa vào đồ thị ta thấy đồ thị hai hàm số \(y = f'\left( x \right);\,\,y = x\) cắt nhau tại 3 điểm có hoành độ là \( - 2;2;4.\)

\( \Rightarrow g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 2\\x = 2\\x = 4\end{array} \right.\)

Bảng biến thiên đồ thị hàm số \(y = g\left( x \right)\):

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy giá trị lớn nhất của hàm số \(g\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ { - 2;4} \right]\) là \(g\left( 2 \right)\).

Chọn B.

Phương pháp giải:

- Đặt \(h\left( x \right) = 3{x^4} - 4{x^3} - 12{x^2} + m\), khảo sát và lập BBT của hàm số \(h\left( x \right)\) trên \(\left[ { - 1;3} \right]\).

- Chia các trường hợp, từ đó suy ra đồ thị hàm số \(y = \left| {h\left( x \right)} \right|\) và tìm GTLN của hàm số trên \(\left[ { - 1;3} \right]\).

- Tìm các giá trị của \(m\) thỏa mãn từng trường hợp.

Lời giải chi tiết:

Đặt \(h\left( x \right) = 3{x^4} - 4{x^3} - 12{x^2} + m\) ta có:

\(h'\left( x \right) = 12{x^3} - 12{x^2} - 24x = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x =  - 1\\x = 2\end{array} \right.\)

Bảng biến thiên:

Ta thấy \(m - 32 < m - 5 < m < m + 27\).

TH1: \(m - 32 \ge 0 \Leftrightarrow m \ge 32\).

\( \Rightarrow M = m + 27 = \dfrac{{71}}{2} \Leftrightarrow m = \dfrac{{17}}{2}\,\,\left( {ktm} \right)\).

TH2: \(m - 32 < 0 \le m - 5 \Leftrightarrow 5 \le m < 32\).

\( \Rightarrow M \in \left\{ {32 - m;m + 27} \right\}\).

Nếu \(m + 27 \ge 32 - m \Leftrightarrow 2m \ge 5 \Leftrightarrow m \ge \dfrac{5}{2}\), kết hợp điều kiện \( \Rightarrow 5 \le m < 32\), khi đó \(M = m + 27 = \dfrac{{71}}{2} \Leftrightarrow m = \dfrac{{17}}{2}\,\,\,\left( {tm} \right)\).

Nếu \(m + 27 < 32 - m \Leftrightarrow m < \dfrac{5}{2}\), kết hợp điều kiện \( \Rightarrow m \in \emptyset \).

TH3: \(m - 5 < 0 \le m \Leftrightarrow 0 \le m < 5\).

 \( \Rightarrow M \in \left\{ {32 - m;m + 27} \right\}\).

Nếu \(m + 27 \ge 32 - m \Leftrightarrow 2m \ge 5 \Leftrightarrow m \ge \dfrac{5}{2}\), kết hợp điều kiện \( \Rightarrow \dfrac{5}{2} \le m < 5\), khi đó \(M = m + 27 = \dfrac{{71}}{2} \Leftrightarrow m = \dfrac{{17}}{2}\,\,\,\left( {ktm} \right)\).

Nếu \(m + 27 < 32 - m \Leftrightarrow m < \dfrac{5}{2}\), kết hợp điều kiện \( \Rightarrow 0 \le m < \dfrac{5}{2}\), khi đó \(M = 32 - m = \dfrac{{71}}{2} \Leftrightarrow m =  - \dfrac{7}{2}\,\,\left( {ktm} \right)\).

TH4: \(m + 27 \le 0 \Leftrightarrow m \le  - 27\), khi đó \(M = 32 - m = \dfrac{{71}}{2} \Leftrightarrow m =  - \dfrac{7}{2}\,\,\,\left( {tm} \right)\).

Vậy có hai giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán là \(m \in \left\{ {\dfrac{{17}}{2}; - \dfrac{7}{2}} \right\}\), tổng các giá trị của \(m\) là \(\dfrac{{17}}{2} + \left( { - \dfrac{7}{2}} \right) = \dfrac{{10}}{2} = 5\).

Chọn D.

Phương pháp giải:

- Tính độ dài bán kính hình tròn và cạnh của hình vuông.

- Tính diện tích hình tròn bán kính \(r\) là \(S = \pi {r^2}\) và diện tích hình vuông cạnh \(a\) là \(S = {a^2}\).

- Tính tổng diện tích, sử dụng phương pháp hàm số để tìm GTNN.

Lời giải chi tiết:

Do \(x\) là độ dài của đoạn dây cuộn thành hình tròn \(\left( {0 < x < a} \right)\). Suy ra chiều dài đoạn còn lại là \(a - x\).

Gọi \(r\) là bán kính của đường tròn. Chu vi đường tròn: \(2\pi r = x\)\( \Rightarrow r = \dfrac{x}{{2\pi }}\).

Do đó diện tích hình tròn là: \({S_1} = \pi .{r^2}\)\( = \dfrac{{{x^{\rm{2}}}}}{{4\pi }}\).

Chu vi hình vuông là \(a - x \Rightarrow \) Cạnh hình vuông là \(\dfrac{{a - x}}{4}\). Do đó diện tích hình vuông: \({S_2} = {\left( {\dfrac{{a - x}}{4}} \right)^2}\).

Tổng diện tích hai hình:

\(\begin{array}{l}S = \dfrac{{{x^2}}}{{4\pi }} + {\left( {\dfrac{{a - x}}{4}} \right)^2}\\\,\,\,\, = \dfrac{{4{x^2} + \pi {{\left( {a - x} \right)}^2}}}{{16\pi }}\\\,\,\,\,\, = \dfrac{{\left( {4 + \pi } \right).{x^2} - 2a\pi x + \pi {a^2}}}{{16\pi }}\end{array}\)

Xét hàm số \(S\left( x \right) = \dfrac{{\left( {4 + \pi } \right).{x^2} - 2a\pi x + \pi {a^2}}}{{16\pi }}\) ta có:\(S'\left( x \right) = \dfrac{{2\left( {4 + \pi } \right).x - 2a\pi }}{{16\pi }} = \dfrac{{\left( {4 + \pi } \right).x - a\pi }}{{8\pi }}\).

Cho\(S'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {4 + \pi } \right)x - a\pi  = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{{a\pi }}{{4 + \pi }}\). Ta có BBT như sau :

Suy ra hàm \(S\) chỉ có một cực trị và là cực tiểu tại \(x = \dfrac{{a\pi }}{{4 + \pi }}\).

Do đó \(S\) đạt giá trị nhỏ nhất tại \(x = \dfrac{{a\pi }}{{4 + \pi }}\).

Chọn C.

Phương pháp giải:

- Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.

- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông để tính góc.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\left| {f\left( x \right) + m} \right| < 2m \Leftrightarrow  - 2m < f\left( x \right) + m < 2m \Leftrightarrow  - 3m < f\left( x \right) < m\).

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3m < \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;4} \right]} f\left( x \right)\\\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;4} \right]} f\left( x \right) < m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3m <  - 2\\3 < m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > \dfrac{2}{3}\\m > 3\end{array} \right. \Leftrightarrow m > 3\).

Kết hợp điều kiện đề bài \( \Rightarrow m \in \left( {3;10} \right],\,\,m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ {4;5;6;7;8;9;10} \right\}\).

Vậy có 7 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn C.

Phương pháp giải:

Cách 1:

+) Tìm GTLN và GTNN của hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên \(\left[ {a;\;b} \right]\) bằng cách:

+) Giải phương trình \(y' = 0\) tìm các nghiệm \({x_i}.\)

+) Tính các giá trị \(f\left( a \right),\;f\left( b \right),\;\;f\left( {{x_i}} \right)\;\;\left( {{x_i} \in \left[ {a;\;b} \right]} \right).\)  Khi đó:

\(\mathop {\min }\limits_{\left[ {a;\;b} \right]} f\left( x \right) = \min \left\{ {f\left( a \right);\;f\left( b \right);\;f\left( {{x_i}} \right)} \right\},\;\;\mathop {\max }\limits_{\left[ {a;\;b} \right]} f\left( x \right) = \max \left\{ {f\left( a \right);\;f\left( b \right);\;f\left( {{x_i}} \right)} \right\}.\) 

Cách 2: Sử dụng chức năng MODE 7 để tìm GTLN, GTNN của hàm số trên \(\left[ {a;\;b} \right].\)

Lời giải chi tiết:

Xét hàm số \(y = x + \dfrac{{16}}{{\sqrt x }}\) ta có:

TXĐ: \(D = \left( {0; + \infty } \right).\)

\(\begin{array}{l}y' = 1 - \dfrac{{16.\dfrac{1}{{2\sqrt x }}}}{{\sqrt x }} = 1 - \dfrac{8}{{x\sqrt x }} = \dfrac{{x\sqrt x  - 8}}{{x\sqrt x }}\\ \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow x\sqrt x  - 8 = 0 \Leftrightarrow x\sqrt x  = 8\\ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt x } \right)^3} = {2^3} \Leftrightarrow \sqrt x  = 2 \Leftrightarrow x = 4\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)

Ta có bảng xét dấu:

\( \Rightarrow \mathop {Min}\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} y = 12\) khi \(x = 4.\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Đặt \(x + 1 = t.\) Khi đó: \(x \in \left[ { - 1;\,\,0} \right] \Rightarrow t \in \left[ {0;\,\,1} \right].\)

Dựa vào đồ thị hàm số đã cho, tìm các GTLN, GTNN của hàm số \(y = f\left( t \right)\) trên \(\left[ {0;\,\,1} \right].\)

Lời giải chi tiết:

Đặt \(x + 1 = t.\) Khi đó: \(x \in \left[ { - 1;\,\,0} \right] \Rightarrow t \in \left[ {0;\,\,1} \right].\)

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy: \(\left\{ \begin{array}{l}a = \mathop {Min}\limits_{\left[ {0;\,1} \right]} f\left( t \right) = 0\,\,\,khi\,\,\,t = 0 \Rightarrow x =  - 1.\\A = \mathop {Min}\limits_{\left[ {0;\,1} \right]} f\left( t \right) = 3\,\,\,\,khi\,\,\,t = 1 \Rightarrow x = 1.\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow a + A = 0 + 3 = 3.\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

- Tính đạo hàm hàm số \(g\left( x \right)\), giải phương trình \(g'\left( x \right) = 0\).

- Lập BBT hàm số \(g\left( x \right)\), từ đó suy ra GTNN của hàm số.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(g'\left( x \right) = 2f'\left( x \right) - 2\left( {1 - x} \right) = 2\left[ {f'\left( x \right) - \left( {1 - x} \right)} \right]\).

Xét \(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow f'\left( x \right) = 1 - x\), số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) và đường thẳng \(y = 1 - x\).

Ta biểu diễn đường thẳng \(y = 1 - x\) trên hình vẽ:

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy \(f'\left( x \right) = 1 - x \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 4\\x =  - 1\\x = 3\end{array} \right.\)

Từ đó, ta suy ra bảng xét dấu \(g'\left( x \right)\) như sau:

Vậy hàm số đạt GTNN tại \(x =  - 1\).

Chọn A.

Phương pháp giải:

- Đặt \(y = g\left( x \right) = f\left( { - 2x} \right)\).

- Giải phương trình \(g'\left( x \right) = 0\), xác định các nghiệm \({x_i} \in \left[ { - 1;\dfrac{1}{2}} \right]\).

- Tính các giá trị \(g\left( { - 1} \right),\,\,g\left( {\dfrac{1}{2}} \right),\,\,g\left( {{x_i}} \right)\) và kết luận GTLN, GTNN của hàm số trên \(\left[ { - 1;\dfrac{1}{2}} \right]\).

Lời giải chi tiết:

Đặt \(y = g\left( x \right) = f\left( { - 2x} \right)\) ta có \(g'\left( x \right) =  - 2f'\left( { - 2x} \right)\).

Dựa vào đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), ta thấy hàm số có 3 điểm cực trị \(x =  - 1,\,\,x = 0,\,\,x = 2\).

\( \Rightarrow g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow f'\left( { - 2x} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 2x =  - 1\\ - 2x = 0\\ - 2x = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{2} \in \left[ { - 1;\dfrac{1}{2}} \right]\\x = 0 \in \left[ { - 1;\dfrac{1}{2}} \right]\\x =  - 1 \in \left[ { - 1;\dfrac{1}{2}} \right]\end{array} \right.\).

Ta có \(g\left( {\dfrac{1}{2}} \right) = f\left( { - 1} \right) \in \left( { - \dfrac{{13}}{8};0} \right)\), \(g\left( 0 \right) = f\left( 0 \right) = 0\), \(g\left( { - 1} \right) = f\left( 2 \right) =  - 4\).

\( \Rightarrow k = \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;\frac{1}{2}} \right]} g\left( x \right) =  - 4,\,\,K = \mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;\frac{1}{2}} \right]} g\left( x \right) = 0\).

Vậy \(k + K =  - 4 + 0 =  - 4.\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

- Từ đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) ta lập được BBT của hàm số đã cho.

- Tìm GTLN, GTNN của \(f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ {0;5} \right]\) qua BBT và dữ kiện đề bài cho.

Lời giải chi tiết:

Từ đồ thị của hàm số \(y = f\left( x \right)\) ta lập được BBT của đồ thị hàm số đã cho như sau:

Từ BBT ta thấy \(x = 0\) là điểm  cực đại và \(x = 2\) là điểm cực tiểu của  hàm số đã cho.

Suy ra \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;5} \right]} f\left( x \right) = f\left( 2 \right)\)

Lại có  \(f\left( 2 \right) < f\left( 3 \right)\) mà \(f\left( 0 \right) + f\left( 3 \right) = f\left( 2 \right) + f\left( 5 \right)\) nên \(f\left( 0 \right) < f\left( 5 \right)\).

Suy ra \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;5} \right]} f\left( x \right) = f\left( 5 \right)\).

Vậy giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhấ của \(f\left( x \right)\) trên \(\left[ {0;5} \right]\) lần lượt là \(f\left( 2 \right);f\left( 5 \right)\). 

Chọn C.

Phương pháp giải:

- Tính \(f'\left( x \right)\), từ đó suy ra tính đơn điệu của hàm số.

- Sử dụng định nghĩa: Nếu hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( {a;b} \right)\) thì \(f\left( a \right) < f\left( x \right) < f\left( b \right)\,\,\forall x \in \left( {a;b} \right)\).

Lời giải chi tiết:

Ta có \(f'\left( x \right) = 3{x^2} + {m^2} + 1 > 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\).

Do đó hàm số đã cho đồng biến trên \(\mathbb{R} \Rightarrow \) Hàm số cũng đồng biến trên \(\left( {0;2} \right)\).

\( \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;2} \right]} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) = {m^2} - 2\).

Theo bài ra ta có: \({m^2} - 2 = 2 \Leftrightarrow m =  \pm 2\).

Mà \(m\) là số thực dương. Vậy \(m = 2\).

Chọn A.

Phương pháp giải:

- Tìm hàm biểu diễn vận tốc, sử dụng công thức \(v\left( t \right) = S'\left( t \right)\).

- Sử dụng phương pháp hàm số tìm GTLN của hàm số trên một đoạn xác định.

Lời giải chi tiết:

Vận tốc của chất điểm được tính theo công thức: \(v\left( t \right) = S'\left( t \right) =  - {t^2} + 12t\).

Xét hàm số \(f\left( t \right) =  - {t^2} + 12t\) với \(t \in \left[ {0;5} \right]\) ta có:

\(f'\left( t \right) =  - 2t + 12 = 0 \Leftrightarrow t = 6 \notin \left[ {0;5} \right]\).

Có \(f\left( 0 \right) = 0,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,f\left( 5 \right) = 35\).

Suy ra \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;5} \right]} f\left( t \right) = f\left( 5 \right) = 35\).

Vậy trong khoảng thời gian 5 giây kể từ khi bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của chất điểm đạt được là \(35\,\,m/s\), tại thời điểm \(t = 5\) giây.

Chọn A.

Phương pháp giải:

Từ giả thiết ta lập luận để có \(a > 0.\)

Từ đó tìm được các điểm cực trị của hàm số và suy ra được GTNN thông qua BBT.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(y' = 4a{x^3} + 2bx = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\4a{x^2} + 2b = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} =  - \dfrac{b}{{2a}}\end{array} \right.\)

Tù giả thiết suy ra \(a > 0\).

TH1: Nếu \(b \ge 0\) thì hàm số có 1 cực trị \(x = 0.\) Suy ra hàm số đơn điệu trên \(\left( { - \infty ;0} \right)\) điều này mâu thuẫn với giả thiết \(\mathop {\min }\limits_{\left( { - \infty ;0} \right)} f\left( x \right) = f\left( { - 1} \right)\) nên ta loại TH này.

TH2: \(b < 0\) hàm số có ba cực trị \({x_1} = 0,{x_2} =  - \sqrt {\dfrac{{ - b}}{{2a}}} ,{x_3} = \sqrt {\dfrac{{ - b}}{{2a}}} \)

Vì \(\mathop {\min }\limits_{\left( { - \infty ;0} \right)} f\left( x \right) = f\left( { - 1} \right)\) nên hàm số đạt cực tiểu tại \(x =  - 1 \Rightarrow {x_2} =  - 1;{x_3} = 1\), khi đó \(a > 0.\)

Ta có BBT:

Từ BBT suy ra GTNN của hàm số trên \(\left[ {0;2} \right]\) là \(f\left( 1 \right) = a + b + c\)

Lại có \(x = 1\) là cực trị của hàm số nên \( - \dfrac{b}{{2a}} = 1 \Rightarrow b =  - 2a\)

Suy ra \(f\left( 1 \right) = a + \left( { - 2a} \right) + c = c - a\)

Vậy GTNN cần tìm là \(c - a.\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Đưa lợi nhuận thu được trong bài toán về hàm số một ẩn rồi tìm giá trị lớn nhất của hàm số đó.

Lời giải chi tiết:

Gọi số tiền tăng thêm của mỗi sản phẩm trong giá bán là \(2x\) (ngàn đồng)

Nếu tăng 2 ( ngàn đồng)  trong giá bán thì số sản phẩm giảm 6 nên nếu tăng thêm mỗi sản phẩm trong giá bán là \(2x\) đồng thì số sản phẩm  trong tháng giảm \(6x\) (sản phẩm). Số sản phẩm bán được trong tháng khi đó là \(60 - 6x\) (sản phẩm).

Giá bán mỗi sản phẩm khi đó là: \(45 + 2x\) (ngàn đồng).

Chi phí sản xuất mỗi sản phẩm là \(27\) (ngàn đồng)  nên lợi nhuận thu được từ mỗi sản phẩm là \(45 + 2x - 27 = 18 + 2x\) (ngàn đồng)

Do đó, lợi nhuận mà doanh nghiệp thu được là :

 \(\left( {60 - 6x} \right)\left( {18 + 2x} \right) = 1080 + 12x - 12{x^2}\)\( =  - 12\left( {{x^2} - x + \dfrac{1}{4}} \right) + 1077\)\( = 1077 - 12{\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right)^2} \le 1077\)

Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi \(x = \dfrac{1}{2}\) hay giá bán của mỗi sản phẩm là 46 (ngàn đồng)

Do đó để thu được lợi nhuận lớn nhất thì doanh nghiệp nên bán sản phẩm với giá 46 ngàn đồng.

 Chọn B.

Phương pháp giải:

Đưa diện tích của hố ga về phương trình 2 ẩn

Áp dụng BĐT AM – GM  biết mối liên hệ của 2 ẩn qua thể tích.

Lời giải chi tiết:

Gọi chiều dài và chiều rộng của hố ga lần lượt là \(a\) và \(b\)\(\left( {a,b > 0} \right)\)

Tỉ số giữa chiều cao và chiều rộng của hố ga bằng 2 nên chiều cao của hố ga bằng \(2b\)

Thể tích của hố ga bằng \(25600\left( {c{m^3}} \right)\) nên  \(2b.a.b = 25600 \Leftrightarrow a{b^2} = 12800\)

Diện tích toàn phần của hố ga không nắp là \({S_{tp}} = ab + 2.2b.a + 2.2b.b\)\( = ab + 4ab + 4{b^2} = 5ab + 4{b^2}\)

Áp dụng BĐT AM – GM ta có :

\({S_{tp}} = 5ab + 4{b^2}\)\( = \dfrac{5}{2}ab + \dfrac{5}{2}ab + 4{b^2} \ge 3\sqrt[3]{{\dfrac{5}{2}.\dfrac{5}{2}.4.{a^2}{b^4}}}\)\( = 3\sqrt[3]{{{{25.12800}^2}}} = 4800\)

Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi \(\dfrac{5}{2}ab = 4{b^2} \Leftrightarrow a = \dfrac{8}{5}b \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 32\\b = 20\end{array} \right.\)

Diện tích đáy của hố ga để xây hố ga tiêt kiệm nguyên liệu nhất là \(S = ab = 20.32 = 640\left( {c{m^2}} \right)\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính diện tích hình chữ nhật.

Sử dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất của diện tích.

Lời giải chi tiết:

Đặt \(OD = OC = x.\)(x>0)

\( \Rightarrow AD = \sqrt {O{A^2} - O{D^2}}  = \sqrt {100 - {x^2}} \)

Ta có diện tích hình chữ nhật ABCD là \(S = AD.DC = 2x\sqrt {100 - {x^2}} \).

        \(\begin{array}{l}S' = 2\sqrt {100 - {x^2}}  + 2x.\frac{{ - 2x}}{{\sqrt {100 - {x^2}} }}\\S' = 0 \Leftrightarrow 100 - {x^2} = {x^2} \Leftrightarrow x = 2\sqrt 5 .\end{array}\)

Khi đó giá trị lớn nhất của S là \(S = 2.2\sqrt 5 .\sqrt {100 - {{\left( {2\sqrt 5 } \right)}^2}}  = 80c{m^2}\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

- Tìm điều kiện xác định.

- Áp dụng công thức tính đạo hàm của hàm số chứa căn: \(\left( {\sqrt {f\left( x \right)} } \right)' = \frac{{f'\left( x \right)}}{{2\sqrt {f\left( x \right)} }}\)

- Lập bảng biến thiên rồi kết luận.

Lời giải chi tiết:

Hàm số \(y = \sqrt {4 + x}  + \sqrt {4 - x} \) xác định khi \( - 4 \le x \le 4\).

Ta có \(y' = \frac{1}{{2\sqrt {4 + x} }} - \frac{1}{{2\sqrt {4 - x} }}\)

        \(\begin{array}{l}y' = 0\\ \Leftrightarrow \frac{1}{{2\sqrt {4 + x} }} - \frac{1}{{2\sqrt {4 - x} }} = 0\\ \Leftrightarrow \sqrt {4 + x}  = \sqrt {4 - x} \\ \Leftrightarrow x = 0\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng 4.

Chọn A.

Phương pháp giải:

Sử dụng đạo hàm rồi lập bảng biến thiên.

Lời giải chi tiết:

Hàm số  \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - x + 1}}{{x - 1}}\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = \frac{{\left( {2x - 1} \right)\left( {x - 1} \right) - ({x^2} - x + 1)}}{{{{(x - 1)}^2}}} = \frac{{{x^2} - 2x}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\)

Ta có \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{{{x^2} - 2x}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\)

\(f\left( x \right) \ge 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta  \le 0\end{array} \right.\)

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta có: hàm số đạt giá trị nhỏ nhất trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\) bằng 3.

Chọn A.

Phương pháp giải:

- Đặt \(OA = x\), tính \(AD\) theo \(x\) và tính diện tích hình chữ nhật \(ABCD\).

- Sử dụng phương pháp hàm số tìm GTLN.

Lời giải chi tiết:

Đặt \(OA = x\,\,\left( {0 < x < 10} \right) \Rightarrow AB = 2x.\)

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(OAD\) ta có: \(AD = \sqrt {100 - {x^2}} \).

Khi đó \({S_{ABCD}} = AB.AD = 2x\sqrt {100 - {x^2}} \).

Ta có: \(S' = 2\sqrt {100 - {x^2}}  + \dfrac{{ - 4{x^2}}}{{2\sqrt {100 - {x^2}} }} = 0\)

\( \Leftrightarrow 4\left( {100 - {x^2}} \right) - 4{x^2} = 0\)\( \Leftrightarrow {x^2} = 50\)\( \Leftrightarrow x = 5\sqrt 2 \,\,\left( {tm} \right)\).

Vậy \({S_{\max }} = S\left( {5\sqrt 2 } \right) = 100\,\,c{m^2}.\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

Do \(a,\,\,b,\,\,c\) không âm nên nếu giả sử phương trình \(f\left( x \right)\) có nghiệm \(x \ge 0\) \( \Rightarrow {x^4} + a{x^3} + b{x^2} + cx + 1 \ge 1 > 0\). Do đó 4 nghiệm của phương trình đều âm.

Áp dụng định lý Vi-et ta có:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} + {x_3} + {x_4} =  - a\\{x_1}{x_2} + {x_2}{x_3} + {x_3}{x_4} + {x_1}{x_3} + {x_1}{x_4} + {x_2}{x_4} = b\\{x_1}{x_2}{x_3} + {x_2}{x_3}{x_4} + {x_3}{x_4}{x_1} + {x_1}{x_2}{x_4} =  - c\\{x_1}{x_2}{x_3}{x_4} = 1\end{array} \right.\\ \Rightarrow a + \dfrac{b}{2} + \dfrac{c}{4} =  - \left( {\sum {{x_1}} } \right) + \dfrac{{\sum {{x_1}{x_2}} }}{2} - \dfrac{1}{4}\left( {\sum {\dfrac{1}{{{x_1}}}} } \right)\end{array}\)

Áp dụng BĐT Cô-si ta có:

\(\begin{array}{l}\dfrac{1}{2}\sum {{x_1}{x_2}}  \ge \dfrac{1}{2}.6.\sqrt[6]{{{{\left( {{x_1}{x_2}{x_3}{x_4}} \right)}^3}}} = \dfrac{6}{2} = 3\\\sum {\left( { - {x_1}} \right)}  + \dfrac{1}{4}\sum {\dfrac{{ - 1}}{{{x_1}}} \ge 4\sqrt[4]{{{x_1}{x_2}{x_3}{x_4}}} + \dfrac{1}{4}.4\sqrt[4]{{\dfrac{1}{{{x_1}{x_2}{x_3}{x_4}}}}} = 5} \\ \Rightarrow P \ge 8.\end{array}\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(P\) là 8.

Chọn C.

Phương pháp giải:

Nhận xét: Cách đi đến công viên nhanh nhất là: Bố chở con trai 1 đến 1 điểm C nào đó trên đường rồi thả con xuống đi bộ, sau đó quay lại đón con trai 2 và chở con trai 2 đến công viên cùng lúc với con trai 1.

Lời giải chi tiết:

Cách đi đến công viên nhanh nhất là: Bố chở con trai 1 đến 1 điểm C nào đó trên đường rồi thả con xuống đi bộ, sau đó quay lại đón con trai 2 và chở con trai 2 đến công viên cùng lúc với con trai 1.

Đặt \(AC = x,CB = y\) thì \(x + y = 16,8\,\,\left( 1 \right)\).

Thời gian đi xe máy đến C là \(\dfrac{x}{{24}}\left( h \right)\).

Trong thời gian này, con thứ 2 đi đến D và được \(\dfrac{x}{{24}}.6 = \dfrac{x}{4}\left( {km} \right)\).

Bố quay về từ C với vận tốc 24km/h và con 2 đi bộ từ D với vận tốc 6km/h thì gặp nhau ở E sau khoảng thời gian là \(\dfrac{{DC}}{{6 + 24}} = \dfrac{{x - \dfrac{x}{4}}}{{30}} = \dfrac{x}{{40}}\left( h \right)\)

Quãng đường EC là \(\dfrac{x}{{40}}.24 = \dfrac{{3x}}{5}\left( {km} \right)\)

Thời gian bố đi từ C về E rồi từ E về B là \(\dfrac{x}{{40}} + \dfrac{x}{{40}} + \dfrac{y}{{24}} = \dfrac{x}{{20}} + \dfrac{y}{{24}}\left( h \right)\).

Thời gian con trai thứ hai đi từ C về B là \(\dfrac{y}{6}\left( h \right)\).

Ba bố con đến nơi cùng lúc \( \Leftrightarrow \dfrac{x}{{20}} + \dfrac{y}{{24}} = \dfrac{y}{6} \Leftrightarrow 8x = 20y\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 16,8\\8x = 20y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 12\\y = 4,8\end{array} \right.\).

Thời gian ngắn nhất ba bố con đến công viên là thời gian người con trai thứ hai đi từ A đến C bằng xe máy và đi bộ từ C đến B.

Vậy thời gian đi là: \(\dfrac{{12}}{{24}} + \dfrac{{4,8}}{6} = 1,3\left( h \right)\)\( = 1\) giờ \(18\) phút.

Chọn D.

Phương pháp giải:

- Cô lập \(m\), đưa bất phương trình về dạng \(m > g\left( x \right)\,\,\forall x \in \left( {a;b} \right)\) \( \Leftrightarrow m \ge \mathop {\max }\limits_{\left[ {a;b} \right]} g\left( x \right)\).

- Tìm GTNN của hàm số \(g\left( x \right)\) bằng phương pháp hàm số hoặc đánh giá.

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\).

Ta có \(y' = 4m{x^3} + 4x\).

Để hàm số đồng biến trên \(\left( {0;\frac{1}{2}} \right)\) thì \(y' > 0\,\,\forall x \in \left( {0;\frac{1}{2}} \right)\).

\( \Rightarrow 4m{x^3} + 4x > 0\,\,\,\forall x \in \left( {0;\frac{1}{2}} \right)\).

\( \Rightarrow 4m{x^3} >  - 4x\,\,\,\forall x \in \left( {0;\frac{1}{2}} \right)\) \( \Leftrightarrow m > \frac{{ - 1}}{{{x^2}}}\,\,\forall x \in \left( {0;\frac{1}{2}} \right)\)\( \Leftrightarrow m \ge \mathop {\max }\limits_{\left( {0;\frac{1}{2}} \right]} \left( { - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)\).

Ta có: \(0 < x \le \frac{1}{2}\)\( \Rightarrow 0 < {x^2} \le \frac{1}{4}\) \( \Leftrightarrow \frac{1}{{{x^2}}} \ge 4 \Leftrightarrow  - \frac{1}{{{x^2}}} \le  - 4\,\,\forall  \in \left( {0;\frac{1}{2}} \right)\).

\( \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left( {0;\frac{1}{2}} \right]} \left( { - \frac{1}{{{x^2}}}} \right) =  - 4\) , suy ra \(m \ge  - 4\).

Kết hợp điều kiện \(m \in \left( { - 2019;2020} \right)\), \(m \in \mathbb{Z}\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4 \le m < 2020\\m \in \mathbb{Z}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow m \in \left\{ { - 4; - 3; - 2;...;2019} \right\}\).

Vậy có 2024 giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn C.

Phương pháp giải:

- Tính chiều dài, chiều rộng mới của thửa đất, sau đó tính diện tích mới của thửa đất.

- Sử dụng phương pháp hàm số tìm GTLN.

Lời giải chi tiết:

Chiều dài mới của thửa đất là \(20 - x\) (mét)

Chiều rộng mới của thửa đất là \(10 + 2x\) (mét)

Khi đó diện tích mới của thửa đất là \(S = \left( {20 - x} \right)\left( {10 + 2x} \right)\).

Ta có: \(S' =  - \left( {10 + 2x} \right) + 2\left( {20 - x} \right) =  - 4x + 30\)

\(S' = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{{15}}{2}\).

Ta có BBT như sau:

Vậy \({S_{\max }} = S\left( {\dfrac{{15}}{2}} \right)\).

Chọn A.

Phương pháp giải:

- Lập BBT của hàm số \(y = 2{x^2} - 3x + 4m + 5\) trên \(\left[ { - 1;2} \right]\).

- Chia các TH, xác định GTLN của hàm số \(y = \left| {2{x^2} - 3x + 4m + 5} \right|\), từ đó xác định \(a,\,b\) và kết luận.

Lời giải chi tiết:

Xét hàm số \(y = 2{x^2} - 3x + 4m + 5\) ta có: \(f'\left( x \right) = 4x - 3 = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{3}{4} \in \left[ { - 1;2} \right]\)

BBT:

TH1: \(\dfrac{{31}}{8} + 4m \ge 0 \Leftrightarrow m \ge  - \dfrac{{31}}{{32}}\).

Khi đó hàm số \(y = \left| {2{x^2} - 3x + 4m + 5} \right|\) đạt GTLN bằng \(10 + 4m\).

Với \(m \ge  - \dfrac{{31}}{{32}}\) thì \(10 + 4m \ge \dfrac{{49}}{8}\).

\( \Rightarrow 10 + 4m\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(\dfrac{{49}}{8}\) khi \(m =  - \dfrac{{31}}{{32}}\).

Khi đó \(a =  - 31,\,\,b = 32 \Rightarrow a + b = 1\) (Không có đáp án).

TH2: \(\dfrac{{31}}{8} + 4m < 0 \le 7 + 4m \Leftrightarrow  - \dfrac{7}{4} \le m \le \dfrac{{ - 31}}{{32}}\).

Khi đó GTLN của hàm số \(y = \left| {2{x^2} - 3x + 4m + 5} \right|\) thuộc \(\left\{ {10 + 4m; - \dfrac{{31}}{8} - 4m} \right\}\).

+ Nếu \(10 + 4m \ge  - \dfrac{{31}}{8} - 4m \Leftrightarrow m \ge  - \dfrac{{111}}{{64}}\).

\( \Rightarrow \max y = 10 + 4m\) đạt GTNN \( \Leftrightarrow m =  - \dfrac{{111}}{{64}}\).

\( \Rightarrow a =  - 111,\,\,b = 64 \Rightarrow a + b =  - 47\).

Chọn C.

Phương pháp giải:

- Hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất luôn đơn điệu trên từng khoảng xác định của chúng.

- Xác định GTNN của hàm số trên \(\left[ { - 1;0} \right]\) sau đó tìm \(m\).

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - m} \right\}\). Ta có: \(y' = \dfrac{{ - {m^2} - 2}}{{{{\left( {x + m} \right)}^2}}} < 0\,\,\forall x \in D\).

Do đó hàm số nghịch biến trên \(\left[ { - 1;0} \right]\) nên \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;0} \right]} y = y\left( 0 \right) = \dfrac{2}{m}\).

Theo bài ra ta có: \(\dfrac{2}{m} =  - 3 \Leftrightarrow m =  - \dfrac{2}{3}\).

Vậy \({m_0} \in \left( { - 2;0} \right)\).

Chọn C.

Phương pháp giải:

- Đặt \(t = 1 - 2\cos x\), tìm khoảng giá trị của \(t\).

- Quan sát đồ thị hàm số, tìm \(M,\,\,m\).

Lời giải chi tiết:

Đặt \(t = 1 - 2\cos x\). Với \(x \in \left[ {0;\,\,\dfrac{{3\pi }}{2}} \right]\) thì \(\cos x \in \left[ { - 1;1} \right] \Rightarrow \)\(1 - 2\cos x \in \left[ { - 1;3} \right] \Rightarrow t \in \left[ { - 1;3} \right].\)

Khi đó ta có \(y = f\left( t \right)\) với \(t \in \left[ { - 1;3} \right]\).

Quan sát đồ thị hàm số \(y = f\left( t \right)\) trên đoạn \(\left[ { - 1;3} \right]\), ta thấy GTLN của hàm số là 2, GTNN của hàm số là \( - \dfrac{3}{2}\)

\( \Rightarrow M = 2,\,\,m =  - \dfrac{3}{2} \Rightarrow M + m = \dfrac{1}{2}\)

Chọn: A

Phương pháp giải:

- Cô lập \(m\), đưa bất phương trình về dạng \(m \le g\left( x \right)\,\,\forall x \in \left[ {0;1} \right] \Leftrightarrow m \le \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;1} \right]} g\left( x \right)\).

- Chứng minh hàm số \(g\left( x \right)\) đơn điệu trên \(\left[ {0;1} \right]\) và suy ra \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;1} \right]} g\left( x \right)\).

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,f\left( x \right) \ge \dfrac{{x + 1}}{{x + 2}} + m\,\,\,\forall x \in \left[ {0;1} \right]\\ \Leftrightarrow m \le f\left( x \right) - \dfrac{{x + 1}}{{x + 2}} = g\left( x \right)\,\,\forall x \in \left[ {0;1} \right]\\ \Leftrightarrow m \le \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;1} \right]} g\left( x \right)\end{array}\)

Xét hàm số \(g\left( x \right) = f\left( x \right) - \dfrac{{x + 1}}{{x + 2}}\) trên \(\left[ {0;1} \right]\) ta có: \(g'\left( x \right) = f'\left( x \right) - \dfrac{1}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\).

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy: Hàm số \(y = f\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\left( {0;1} \right)\) nên \(f'\left( x \right) \le 0\,\,\forall x \in \left[ {0;1} \right]\), lại có \( - \dfrac{1}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} < 0\,\,\forall x \in \left[ {0;1} \right]\), do đó \(g'\left( x \right) < 0\,\,\forall x \in \left[ {0;1} \right]\), suy ra hàm số \(y = g\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\left[ {0;1} \right]\) nên \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;1} \right]} g\left( x \right) = g\left( 1 \right) = f\left( 1 \right) - \dfrac{2}{3}\).

Vậy \(m \le f\left( 1 \right) - \dfrac{2}{3}\).

Chọn D.

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

Xét \(y = {x^2} - 2x + m \Rightarrow y' = 2x - 2 = 0 \Rightarrow x = 1\) (thỏa mãn)

Thay \(x =  - 1 \Rightarrow \) \(y\left( { - 1} \right) = \left| {m + 3} \right|\)

Thay \(x = 1 \Rightarrow \)\(y\left( 1 \right) = \left| {m - 1} \right|\,\)

Thay \(x = 2 \Rightarrow \)\(y\left( 2 \right) = \left| m \right|\)

BBT:

+ Đến đây ta không thể biết được giá trị nào max trong 3 giá trị trên \( \Rightarrow \) chia 3 TH của m

TH1: \(m - 1 \ge 0\) \( \Rightarrow \max \left| {f\left( x \right)} \right| = f\left( { - 1} \right) = m + 3\).

\( \Rightarrow m + 3 = 5 \Leftrightarrow m = 2\,\,\,\left( {tm} \right)\).

TH2: \(m - 1 < 0 \le m \Leftrightarrow 0 \le m < 1\).

\( \Rightarrow \max \left| {f\left( x \right)} \right| = \max \left\{ {m + 3;1 - m} \right\}\).

Do \(0 \le m < 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 \le m + 3 < 4\\0 < 1 - m \le 1\end{array} \right. \Rightarrow m + 3 > 1 - m\,\,\forall m \in \left[ {0;1} \right)\).

\( \Rightarrow \max \left| {f\left( x \right)} \right| = m + 3 = 5 \Leftrightarrow m = 2\,\,\left( {ktm} \right)\).

TH3: \(m \le 0 \le m + 3 \Leftrightarrow  - 3 < m \le 0\).

\( \Rightarrow \max \left| {f\left( x \right)} \right| = \max \left\{ {m + 3;1 - m} \right\}\).

+ Nếu \(m + 3 \ge 1 - m \Leftrightarrow m \ge  - 1\), kết hợp điều kiện \( \Rightarrow  - 1 \le m \le 0\).

Khi đó \(\max \left| {f\left( x \right)} \right| = m + 3 = 5 \Leftrightarrow m = 2\,\,\left( {ktm} \right)\).

+ Nếu \(m + 3 < 1 - m \Leftrightarrow m <  - 1\), kết hợp điều kiện \( \Rightarrow  - 3 < m <  - 1\).

\( \Rightarrow \max \left| {f\left( x \right)} \right| = 1 - m = 5 \Leftrightarrow m =  - 4\,\,\left( {ktm} \right)\).

TH4: \(m + 3 \le 0 \Rightarrow m \le  - 3\).

Khi đó \(\max \left| {f\left( x \right)} \right| = 1 - m = 5 \Leftrightarrow m =  - 4\,\,\,\left( {tm} \right)\).

Vậy có 2 giá trị là \(m = 2,\,\,\,m =  - 4.\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

\(V = h.{x^2} = 500 \Leftrightarrow h = \dfrac{{500}}{{{x^2}}}\)

\({S_{tp}} = 4xh + {x^2} = 4x\dfrac{{500}}{{{x^2}}} + {x^2} = \dfrac{{2000}}{x} + {x^2}\)

Để chiếc hộp làm ra tốn ít nguyên liệu nhất

\( \Rightarrow \)Tìm\(\min y = \dfrac{{2000}}{x} + {x^2}\)

TXĐ: \(D = \left( {0; + \infty } \right)\)

Dung máy tính cầm tay: ấn tổ hợp phím mode +7

Nhập: \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) = \dfrac{{2000}}{x} + {x^2}\\start:0\\end:10\\step = \dfrac{{end - start}}{{19}} = \dfrac{{10}}{{19}}\end{array} \right.\)

Nhìn vào cột \(F\left( x \right)\)thấy \(\min \,f\left( x \right) = 300\)tại \(x = 10\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

\(V = x\left( {2016 - 2x} \right)\left( {2016 - 2x} \right)\)

ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\2016 - 2x > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 < x < 1008\)

Xét \(y = x\left( {2016 - 2x} \right)\left( {2016 - 2x} \right) = x{\left( {2016 - 2x} \right)^2}\)

\(\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = x\left[ {{{\left( {2016} \right)}^2} - 8064 + 4{x^2}} \right] = 4{x^3} - 8064{x^2} + {\left( {2016} \right)^2}x\)

\(y' = 12{x^2} - 16128x + {\left( {2016} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1008\,\,\,\,\left( L \right)\\x = 336\,\,\,\,\left( {TM} \right)\end{array} \right.\)

BBT:

\(\Rightarrow \) Để thể tích hộp lớn nhất thì \(x=336\).

Chọn A.

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

Giả sử \(\Delta ABC\)có \(\widehat A = {90^0};\,\,AB = x;\,\,BC = y\)

Có: \(x + y = a \Leftrightarrow y = a - x\)

Xét \(\Delta ABC\,\,\,\,\left( {\widehat A = {{90}^0}} \right)\) có:

\(\eqalign{
& A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\,\left( {Pytago} \right) \cr
& \Leftrightarrow {x^2} + A{C^2} = {\left( {a - x} \right)^2} \cr
& \Leftrightarrow A{C^2} = {\left( {a - x} \right)^2} - {x^2} \cr
& \Leftrightarrow AC = \sqrt {{{\left( {a - x} \right)}^2} - {x^2}} \cr
& {S_{ABC}} = {1 \over 2}AB.AC = {1 \over 2}.x.\sqrt {{{\left( {a - x} \right)}^2} - {x^2}} \cr}\)

\(a = 1 \Rightarrow y = \dfrac{1}{2}.x.\sqrt {1 - 2x} \)

Xét \(y = \dfrac{1}{2}.x.\sqrt {{{\left( {a - x} \right)}^2} - {x^2}} \)

Giả sử coi hằng số

TXĐ: \(D = \left( {0;\dfrac{1}{2}} \right]\)

Dùng máy tính cầm tay: ấn tổ hợp phím MODE + 7

Nhập \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) = \dfrac{1}{2}.x.\sqrt {1 - 2x} \\Start:0\\End:\dfrac{1}{2}\\Step:\dfrac{{End - Start}}{{19}} = \dfrac{1}{2}:19\end{array} \right.\)

Nhìn vào cột \(f\left( x \right)\)thấy \(max\,f\left( x \right) = 0,0961 \approx \dfrac{1}{{6\sqrt 3 }}\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

Gọi độ dài đáy hộp là\(a\). Chiều cao của hộp là \(b\)

Ta có \({a^2}.b = 4 \Leftrightarrow b = \dfrac{4}{{{a^2}}}\)

\(\begin{array}{l}{S_{mv}} = 4ab + {a^2} \Rightarrow {S_{mv\,}}\min  \Leftrightarrow \left( {4ab + {a^2}} \right)\min \\ \Leftrightarrow 4a\dfrac{4}{{{a^2}}} + {a^2}\min  \Leftrightarrow \dfrac{{16}}{a} + {a^2}\min \end{array}\)

Xét \(\dfrac{{16}}{a} + {a^2} = \dfrac{8}{a} + \dfrac{8}{a} + {a^2}\)

Theo BĐT Cosi : \(\dfrac{8}{a} + \dfrac{8}{a} + {a^2} \ge 3\sqrt[3]{{\dfrac{8}{a}.\dfrac{8}{a} + {a^2}}} \Rightarrow {S_{mv}} \ge 12\)

Dấu xảy ra \( \Leftrightarrow \dfrac{8}{a} = \dfrac{8}{a} = {a^2} \Leftrightarrow a = 2 \Rightarrow b = \dfrac{4}{{{a^2}}} = 1\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(MN = BC - 2BM = 20 - 2BM\)

Vì \(\Delta ABC\) đều \( \Rightarrow \widehat B = {60^\circ }\)

Xét \(\Delta BMQ\)vuông tại \(M\), có: \(\tan {60^0} = \dfrac{{QM}}{{BM}} \Rightarrow QM = BM.\sqrt 3 \)

\(\begin{array}{l}{S_{MNPQ}} = MN.QM = \left( {20 - 2BM} \right).BM\sqrt 3  = \underbrace { - 2\sqrt 3 .B{M^2} + 20\sqrt 3 .BM}_{f\left( x \right)}\\{S_{MNPQ\,}}max \Leftrightarrow f\left( x \right)\,max \Leftrightarrow BM =  - \dfrac{b}{{2a}} = 5\,(cm)\end{array}\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

\(CF = \sqrt {{x^2} - {{\left( {8 - x} \right)}^2}}  = \sqrt {16x - 64} \)

đồng dạng với \(\Delta FCE \Rightarrow \dfrac{{EF}}{{AF}} = \dfrac{{CF}}{{AD}} \Rightarrow AF = \dfrac{{EF.AD}}{{CF}} = \dfrac{{8x}}{{\sqrt {16x - 64} }}\)

\(\begin{array}{l}AE = y = \sqrt {A{F^2} + E{F^2}}  = \sqrt {\dfrac{{64{x^2}}}{{16x - 64}} + {x^2}}  = \sqrt {\dfrac{{16{x^3}}}{{16x - 64}}} \\AE\,\min  \Leftrightarrow {y^2}\min \\{y^2} = f\left( x \right) = \dfrac{{16{x^3}}}{{16x - 64}} \Rightarrow f'\left( x \right) = \dfrac{{48{x^2}\left( {16x - 64} \right) - 16.16{x^3}}}{{{{\left( {16x - 64} \right)}^2}}}\\ \Leftrightarrow x = 6\end{array}\)

BBT:

\({y_{\min }} = \sqrt {f{{\left( x \right)}_{\min }}}  = \sqrt {108}  = 6\sqrt 3 \)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

Giá cho thuê sau \(x\) lần tăng \(50000\) là \(200 + x.50\)(nghìn)

\( \Rightarrow \) Khi ấy số căn hộ cho thuê là: \(50 - x\)(căn)

\( \Rightarrow \) Doanh thu: \(\left( {2000 + 50x} \right)\left( {50 - x} \right) = D\)

\(\begin{array}{l}D = 100000 + 2500x - 2000x - 50{x^2} =  - 50{x^2} + 500x + 100000\\D' =  - 100x + 500 = 0 \Leftrightarrow x = 5\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Công ty đạt thu nhập cao nhất khi tăng \(50.5 = 250\) (nghìn)

\( \Rightarrow \) Thu nhập cao nhất 1 tháng của công ty là:

\(\left( {2000 + 50.5} \right)\left( {50 - 5} \right) = 101.250\) (nghìn)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

Giá khăn sau \(x\) lần tăng \(1000:30 + x\)(nghìn)

\( \Rightarrow \) Mỗi tháng bán: \(3000 - 100x\)(chiếc)

\( \Rightarrow \) Lợi nhuận

\(\left( {30 + x} \right)\left( {3000 - 100x} \right) - 18\left( {3000 - 100x} \right) = L\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow L = \left( {3000 - 100x} \right)\left( {12 + x} \right) = 36000 - 1200x + 3000x - 100{x^2} =  - 100{x^2} + 1.800x + 36000\\L' =  - 200x + 1800 = 0 \Leftrightarrow x = 9\end{array}\)

\( \Rightarrow \) lợi nhuận lớn nhất khi tăng giá 9 lần \( \Rightarrow \) Giá mới: \(39.000\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

Ta có \(v = s' =  - {t^2} + 8t + 9 = f\left( t \right)\).

\( \Rightarrow \) Đồ thị hàm số là parabol mà có \(a =  - 1 < 0\).

\( \Rightarrow \) Hàm số đạt GTLN tại \(t =  - \dfrac{b}{{2a}} = \dfrac{{ - 8}}{{2\left( { - 1} \right)}} = 4\).

\( \Rightarrow f{\left( t \right)_{\max }} = {v_{\max }} =  - {4^2} + 8.4 + 9 = 25\).

Chọn B